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Lexikon der Mathematik: algebraischer Funktionenkörper

ein über einem Grundkörper 𝕂 endlich erzeugter Erweiterungskörper 𝕃.

Im folgenden sei 𝕂 algebraisch abgeschlossen. Wenn 𝕂 = ℂ und wenn man eine Transzendenz-basis 𝓏1, ··· , 𝓏n, auszeichnet, so kann man jedes Element von 𝕃 als analytische Funktion auf einem geeigneten Gebiet in ℂn ansehen, oder als „mehrwertige Funktion“. Man kann die Elemente von 𝕃 aber auch mit rationalen Funktionen auf einer projektiven algebraischen Varietät V interpretieren, (eine solche Varietät V mit 𝔐V (V) ≅ 𝕃 heißt ein Modell von 𝕃,) die man wie folgt erhält: Man wähle Elemente 𝓏1, ··· , 𝓏N, die 𝕃 erzeugen, eine Unbestimmte t über 𝕃, und definiere \begin{eqnarray}I=\{f\in {\mathbb{K}}[{X}_{0},\cdots ,{X}_{N}];f(t,t{{\mathscr{z}}}_{1},\cdots ,t{{\mathscr{z}}}_{N})=0\}.\end{eqnarray}

Dies ist ein homogenes Primideal, die zugehörige Varietät in ℙN(𝕂) ist dann eine Varietät mit 𝔐V (V) ≃ 𝕃. Die Dimension von V ist der Transzendenzgrad von 𝕃 über 𝕂, diese Zahl heißt auch Dimension des Funktionenkörpers. Eine besondere Rolle bei der Entwicklung der algebraischen Geometrie haben ein- und zweidimensionale Funktionenkörper gespielt, weil es in diesem Fall ausgezeichnete glatte sog. minimale Modelle gibt.

Im eindimensionalen Fall gibt es ein ausgezeichnetes Modell V, welches zugleich minimal und maximal ist, d. h. wenn V eine komplette Varietät und σ : 𝔐V′ (V) \begin{eqnarray}\mathop{\to }\limits^{\sim }\end{eqnarray} 𝕃 ein Isomorphismus ist, so wird σ durch einen Morphismus VV induziert, und wenn V eine glatte Varietät ist mit 𝔐V′ (V) ≃ 𝕃, so wird der Isomorphismus durch eine offene Einbettung VV induziert. Man nennt V das glatte Modell von 𝕃. Man erhält V aus einem beliebigen Modell durch Auflösung von Singularitäten. Im Falle 𝕂 = ℂ ist die V zugrundeliegende komplexe Mannigfaltigkeit Vh eine kompakte Riemannsche Fläche.

Im zweidimensionalen Fall gibt es außer im Falle 𝕃 = K0(t), K0 ein eindimensionaler Funktionenkörper, eindeutig bestimmte minimale Modelle. Im Falle 𝕃 = K0(t) gibt es relative minimale Modelle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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