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Lexikon der Mathematik: algebraischer Zahlkörper

eine Körpererweite-rung K/ℚ über dem Körper ℚ der rationalen Zahlen mit der Eigenschaft, daß K als Vektorraum über ℚ endlich-dimensional ist.

Die Dimension von K als ℚ-Vektorraum heißt auch Grad des algebraischen Zahlkörpers K, geschrieben [K : ℚ].

Sind x1,... , xn reelle Zahlen, so schreibt man \begin{eqnarray}K={\mathbb{Q}}({x}_{1},\ldots ,{x}_{n})\end{eqnarray}

für denjenigen Körper, der aus ℚ durch Adjunktion dieser Zahlen entsteht.

Sind alle Zahlen x1,... , xn algebraische Zahlen, so wird K ein algebraischer Zahlkörper, und umgekehrt entsteht jeder algebraische Zahlkörper auf diese Weise. Man kann zeigen, daß jeder algebraische Zahlkörper ein primitives Element x enthält, d. h., K entsteht aus ℚ durch Adjunktion einer einzigen algebraischen Zahl x.

Ist K = ℚ(x), so ist der Grad der Körpererweiterung \begin{eqnarray}[K:{\mathbb{Q}}]=[{\mathbb{Q}}(x):{\mathbb{Q}}]\end{eqnarray}

gleich dem Grad der algebraischen Zahl x, und damit gleich dem Grad des Minimalpolynoms von x. Ist x ∈ ℂ eine transzendente Zahl, so erhält man durch Adjunktion an ℚ keinen algebraischen Zahlkörper, denn in diesem Fall gilt \begin{eqnarray}[{\mathbb{Q}}(x):{\mathbb{Q}}]=\infty .\end{eqnarray}

Beispielsweise ist der Körper ℝ der reellen Zahlen kein algebraischer Zahlkörper, da er neben den algebraischen Zahlen auch transzendente Zahlen enthält.

Auch der Körper \begin{eqnarray}\bar{{\mathbb{Q}}}\end{eqnarray} aller algebraischen Zahlen, d.i. der algebraische Abschluß von ℚ, ist selbst kein algebraischer Zahlkörper, da er algebraische Zahlen von beliebig hohem Grad enthält; es gilt \begin{eqnarray}[\bar{{\mathbb{Q}}}:{\mathbb{Q}}]=\infty .\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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