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Lexikon der Mathematik: algebraisches Produkt unscharfer Mengen

die unscharfe Menge mit der Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}{\mu }_{A\cdot B}(x)={\mu }_{A}(x)\cdot {\mu }_{B}(x)\end{eqnarray}

für alle xX, wobei \begin{eqnarray}\tilde{A}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\tilde{B}\end{eqnarray} Fuzzy-Mengen auf X sind. Das algebraische Produkt wird \begin{eqnarray}\tilde{A}\cdot \tilde{B}\end{eqnarray} geschrieben.

Das algebraische Produkt ist eine spezielle T-Norm, die zur Bildung des Durchschnitts unscharfer Mengen verwendet wird. Das algebraische Produkt bildet zusammen mit der algebraischen Summe unscharfer Mengen einen Verband, der nicht-distributiv ist, da \begin{eqnarray}{\tilde A \cdot (\tilde B + \tilde C) \ne \tilde A \cdot \tilde B + \tilde A \cdot \tilde C} \quad {{\text{f}} {\unicode{x00FC}} \text{r}\mu _A \ne 1.}\end{eqnarray}

Da für eine unscharfe Menge \begin{eqnarray}\tilde{A}\in \tilde{{\mathfrak{P}}}(X)\end{eqnarray}, die nicht gleich \begin{eqnarray}\tilde{{\rm{\not O}}}\end{eqnarray} oder X ist, gilt \begin{eqnarray}\tilde{A}\cdot C(\tilde{A})\ne \tilde{{\rm{\not O}}} & {\rm{und}} & \tilde{A}+C(\tilde{A})\ne X,\end{eqnarray}

genügen die algebraischen Operatoren nicht dem Gesetz der Komplementarität.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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