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Lexikon der Mathematik: Algebrenhomomorphismus

Abbildung zwischen zwei Algebren mit speziellen Eigenschaften.

Seien A1 und A2 zwei Algebren über demselben Ring R. Eine Abbildung ϕ : A1A2 heißt Algebrenhomomorphismus, falls gilt:

  1. ϕ ist R-linear, d. h. ∀r, sR, ∀a, bA1 gilt \begin{eqnarray}\phi (ra+sb)=r\phi (a)+s\phi (b).\end{eqnarray}
  2. ϕ ist ein Ringhomomorphismus, d. h. ∀a, bA1 gilt \begin{eqnarray}\phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b).\end{eqnarray}

Ist der Algebrenhomomorphismus ϕ injektiv, (d. h. aus ϕ(a) = ϕ(b) folgt a = b), so nennt man ϕ Algebrenmonomorphismus.

Ist ϕ surjektiv, (d. h. ϕ(A1) = A2), so nennt man ϕ Algebrenepimorphismus.

Ist ϕ bijektiv, so nennt man ϕ Algebrenisomorphismus.

Stimmen Ausgangsalgebra A1 und Zielalgebra A2 überein, so nennt man ϕ auch Algebrenendomorphismus. Ist ϕ zusätzlich bijektiv, so nennt man ϕ Algebrenautomorphismus.

Der Kern ϕ eines Algebrenhomomorphismus, d. h. die Elemente xA1 mit ϕ(x) = 0, bildet ein zweiseitiges Ideal in A1 in bezug auf die Ringstruktur von A1. Das Bild ϕ(A1) bildet eine Unteralgebra in A2.

Nach dem Homomorphiesatz ist die Faktoralgebra A1/Kern ϕ isomorph zu ϕ(A1).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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