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Lexikon der Mathematik: allgemeine Hartogs-Figur

wichtiges Instument zum Studium der analytischen Fortsetzbarkeit holomorpher Funktionen mehrerer Variabler. Es sei \begin{eqnarray}P=\{z\in {{\mathbb{C}}}^{n}:|z|\lt 1\}\end{eqnarray}

der Einheitspolyzylinder, sowie q1,..., qn mit 0 < qν < 1 für 1 ≤ ν ≤ n reelle Zahlen. Dann definiert man für 2 ≤ μn : \begin{eqnarray}{D}_{\mu }:=\{z\in P:|{z}_{1}|\le {q}_{1}\,{\rm{und}}\,{q}_{\mu }\le |{z}_{\mu }|\lt 1\},\end{eqnarray}\begin{eqnarray}D:=\displaystyle \underset{\mu =2}{\overset{n}{\cup }}{D}_{\mu }\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}H:=P-D=\displaystyle \underset{\mu =2}{\overset{n}{\cap }}(P-{D}_{\mu }).\end{eqnarray}

Dann ist \begin{eqnarray}H=\{z\in P:|{z}_{1}|\gt {q}_{1}\,{\rm{oder}}\,|{z}_{\mu }|\lt {q}_{\mu },2\le \mu \le n\}.\end{eqnarray}

(P, H) heißt dann euklidische Hartogs-Figur im ℂn. H ist ein eigentlicher Reinhardtscher Körper, Ȟ = P seine vollständige Hülle, d. h. der kleinste logarithmisch-konvexe vollständige Reinhardtsche Körper, der H enthält. Es gilt \begin{eqnarray}\mathop{H}\limits^{\vee }=\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{{\mathscr{z}}\in H\cap {({\mathbb{C}}* )}^{n}}P(0;z),\end{eqnarray}

wobei \begin{eqnarray}P(0;z)=\{w\in {{\mathbb{C}}}^{n}:|{w}_{j}|\lt |{z}_{j}|,1\le j\le n\}.\end{eqnarray}

Es sei nun (P, H) eine euklidische Hartogs-Figur im ℂn, g = (g1,..., gn): P → ℂn eine biholomorphe Abbildung, und \begin{eqnarray}\tilde{P}:=g(P)\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\tilde{H}:=g(H)\end{eqnarray}.

Dann heißt \begin{eqnarray}(\tilde{P},\tilde{H})\end{eqnarray} (eine allgemeine Hartogs-Figur im ℂn.

Der folgende Satz wird im Beweis des Kontinuitätssatzes von Hartogs angewendet, der von grundlegender Bedeutung für die Betrachtungen zur analytischen Fortsetzbarkeit holomorpher Funktionen ist.

Sei \begin{eqnarray}(\tilde{P},\tilde{H})\end{eqnarray}eine allgemeine Hartogsfigur imn und f holomorph in \begin{eqnarray}\tilde{H}\end{eqnarray}.

Dann existiert genau eine holomorphe Funktion F auf \begin{eqnarray}\tilde{P}\end{eqnarray}mit \begin{eqnarray}F|\tilde{H}=f\end{eqnarray} = f.

Da P = Ȟ ≠ H, besteht ein wichtiger Unterschied zur Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen, wo es zu jedem Gebiet G eine auf G holomorphe Funktion gibt, die in kein echtes Obergebiet fortsetzbar ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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