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Lexikon der Mathematik: Allgemeine Relativitätstheorie

Die Allgemeine Relativitätstheorie, abgekürzt ART, ist eine von Albert Einstein im Jahr 1915 entwickelte Verallgemeinerung der Speziellen Relativitätstheorie. Eine der Grundideen der Relativitätstheorie, nämlich die Dynamik der physikalischen Felder aus der Geometrie herzuleiten, ist hier erstmals realisiert worden, deshalb wird die ART auch Geometrodynamik genannt.

Die der ART unterliegende Geometrie ist die der Pseudoriemannschen Mannigfaltigkeit. Das „Pseudo“ in diesem Begriff bezieht sich auf die Tatsache, daß in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der metrische Tensor gij positiv definit sein muß, in der ART hat der metrische Tensor dagegen die Signatur (+−−−). (Die Literatur ist hier nicht einheitlich: teilweise wird auch die Signatur (− + ++) verwendet, das hat aber auf das weitere keinen Einfluß, außer daß in einigen Formeln andere Vorzeichen gesetzt werden müssen.)

Für einen von Null verschiedenen Vektor υi bestimmt \begin{eqnarray}\upsilon ={g}_{ij}{\upsilon }^{i}{\upsilon }^{j}\end{eqnarray}

(hier findet die Einsteinsche Summenkonvention Anwendung) den Charakter des Vektors: Bei v > 0 ist der Vektor zeitartig, bei υ = 0 ist er lichtartig und bei υ < 0 raumartig.

Der metrische Tensor geometrisiert das Gravitationsfeld, deshalb wird die ART auch einfach Gravitationstheorie genannt. Um sie dann von anderen Gravitationstheorien zu unterscheiden, werden diese mit dem Sammelbegriff Nicht-Einsteinsche Gravitationstheorien bezeichnet.

Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Zugänge, die ART herzuleiten: Zum einen werden physikalische Prinzipien aufgestellt und danach die geeignete mathematische Struktur dazu gesucht, zum anderen werden geometrisch motivierte Annahmen gemacht, um anschließend deren physikalische Konsequenzen zu ermitteln. Ein besonderer Reiz der ART besteht nun gerade darin, daß beide Zugänge zu denselben Ergebnissen führen.

Wir beginnen mit dem physikalischen Zugang, der geometrische wird am Ende angeführt.

Die physikalischen Prinzipien sind die folgenden: Das Kovarianzprinzip; dieses besagt, daß der Wert meßbarer physikalischer Größen unabhängig davon ist, in welchem Koordinatensystem gemessen wird. Dabei werden beliebige, auch nichtlineare, Koordinatentransformationen berücksichtigt. (Zum Vergleich: In der Speziellen Relativitätstheorie wird dieses Kovarianzprinzip nur für Inertialsysteme gefordert, d. h., es werden nur lineare Koordinatentransformationen zugelassen.)

Um diesem Prinzip zu genügen, benötigt man einen neuen Typ der Ableitung von Feldern (anstelle der partiellen Ableitung tritt die kovariante Ableitung) und einen neuen Typ von Feldern (Tensorfelder genannt).

Das Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, daß sich die Feldgleichungen der physikalischen Felder als Minimum einer Wirkungsfunktion herleiten lassen. Im Rahmen der ART ist die Wirkungsfunktion dargestellt durch ein Integral über die Raum-Zeit, und der Integrand ist der „Lagrangian“ L. Dabei ist \begin{eqnarray}L={L}_{EH}+{L}_{mat},\end{eqnarray}

wobei LEH der Integrand der Einstein-Hilbert-Wirkung ist und die gravitative Wechselwirkung beschreibt. Lmat ist der Lagrangian der Materie, der alle nichtgravitativen Wechselwirkungen beschreibt. Es gilt \begin{eqnarray}{L}_{EH}=\frac{R}{16\pi G},\end{eqnarray}

dabei sind R der Krümmungsskalar und G die Gravitationskonstante. Die Gravitationsfeldgleichung ist gleichwertig zu der Forderung, daß die Variationsableitung von L nach dem metrischen Tensor gij verschwindet, und führt zur Einsteinschen Feldgleichung.

Die Wirkung ist das Integral über den Lagrangian, so daß das Verschwinden der genannten Variationsableitung äquivalent zur Stationarität der Wirkung ist. Damit die Wirkung nicht nur stationär, sondern, wie gefordert, minimal wird, müssen sowohl G als auch alle Massen positiv sein. Das hat zur Folge, daß Gravitation immer anziehend ist.

Das Äquivalenzprinzip der mathematischen Physik führt zu folgendem „Rezept“: Um die nichtgravitativen Felder in der ART zu beschreiben, werden die Gleichungen der Speziellen Relativitätstheorie so umgeschrieben, daß die partiellen Ableitungen durch kovariante ersetzt werden, und die Metrik der Minkowskischen Raum-Zeit wird durch den metrischen Tensor der ART ersetzt. Nach diesem „Rezept“ wird Lmat gebildet. Dadurch werden die Feldgleichungen, wie gefordert, zu Tensorgleichungen.

Das Machsche Prinzip ist von etwas anderer Struktur, da bis heute nicht ganz klar ist, in welcher Relation es tatsächlich zur ART steht. Es besagt: Die Trägheit eines Körpers wird durch die Menge aller schweren Massen des Universums induziert.

Kommen wir nun zum geometrischen Zugang: Wenn man postuliert, daß die Gravitation durch die Krümmung der Raum-Zeit beschrieben werden soll, und damit die Feldgleichungen zu Tensorgleichungen werden, muß der Lagrangian ein Skalar sein, der aus den Komponenten des Krümmungstensors gebildet wird. Da der Krümmungstensor aus den zweiten Ableitungen der Metrik aufgebaut ist, ergibt das im typischen Fall eine Feldgleichung vierter Ordnung für das Gravitationsfeld.

Nun ist aber die Newtonsche Gravitationstheorie, die ja im Grenzfall schwacher Gravitationsfelder als Grenzfall der ART herauskommen sollte, eine Theorie zweiter Ordnung. So ist es sinnvoll, dies auch von der ART zu fordern, und diese Forderung führt dazu, daß der gravitative Lagrangian linear in R sein muß, d. h. \begin{eqnarray}{L}_{EH}=\alpha R+\Lambda \end{eqnarray}

mit gewissen Konstanten α und Λ.

Damit sich der Newtonsche Grenzfall richtig ergibt, muß α = 1/(16πG) gelten. Die Frage, ob Λ einfach gleich Null gesetzt werden soll, ist noch umstritten. Schon Einstein selbst hat zu dieser Frage nach der kosmologischen Konstante im Laufe der Zeit unterschiedliche Ansichten geäußert.

Die Bianchi-Identitäten sind zunächst eine rein geometrisch begründete Eigenschaft einer RaumZeit. Wendet man sie auf die Einsteinsche Feldgleichung an, ergeben sich entsprechende Identitäten für die Materiefelder.

Das hat zur Konsequenz, daß, anders als in vielen anderen Theorien, in der ART die Bewegungsgleichung von (Test-)Teilchen nicht zusätzlich vorgegeben zu werden braucht, sondern eine Folge der Feldgleichungen ist.

Literatur

[1] Einstein, A.: Grundzüge der Relativitätstheorie. Vieweg Braunschweig, 1969.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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