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Lexikon der Mathematik: allgemeine Riccati-Differentialgleichung

gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung der Form \begin{eqnarray}{y}^{\prime}=f(x){y}^{2}+g(x)y+h(x). & \,\,\,(1)\end{eqnarray}

Durch verschiedene Substitutionen ist es möglich, das lineare Glied zu eliminieren und die DGL somit eventuell zu vereinfachen. Sind speziell f(x) = −a, g(x) = 0 und h(x) = bxα mit Konstanten a, b, α, so handelt es sich um die spezielle Riccati-Differentialgleichung \begin{eqnarray}{y}^{\prime}+a{y}^{2}=b{x}^{\alpha }. & \,\,\,(2)\end{eqnarray}

Die Differentialgleichung \begin{eqnarray}x{y}^{\prime}+a{x}^{\alpha }{y}^{2}+by=c{x}^{\beta }\end{eqnarray}

ist die sog. Rawsonsche Form der Riccati-Differentialgleichung, ihre Lösungen lassen sich eindeutig in die Lösungen einer speziellen Riccati-Differentialgleichung überführen und umgekehrt. Für den Fall h(x) = 0 ist (1) eine Bernoulli-Differentialgleichung und läßt sich dann mit u(x) = 1/y in die lineare Differentialgleichung \begin{eqnarray}{u}^{\prime}+g(x)u+f(x)=0\end{eqnarray}

überführen.

Die allgemeine Riccati-Differentialgleichung steht in engem Bezug zu den linearen DGLen zweiter Ordnung: Denn sind I ⊂ ℝ ein Intervall, g, hC 0(I) und fC 1(I), so wird jede auf einem beliebigen Teilintervall von I existierende Lösung y von (1) durch u(x) = exp (−∫ f(x)y(x)dx) in eine nichttriviale Lösung der linearen DGL \begin{eqnarray}f(x){{u}^{\prime}}^{\prime}-({f}^{\prime}(x)+f(x)g(x)){u}^{\prime}+{f}^{2}(x)h(x)u=0 & \,\,\,(3)\end{eqnarray}

überführt. Umgekehrt wird aus jeder nichttrivialen Lösung u von (3) durch \begin{eqnarray}y(x)=-\frac{{u}^{\prime}(x)}{f(x)u(x)}\end{eqnarray}

eine Lösung der Riccati-Differentialgleichung (1).

[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner Stuttgart, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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