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Lexikon der Mathematik: α-Limespunkt

Auch negativer Limespunkt genannt, Punkt x0 ∈ M für ein dynamisches System (M, G, Φ) zu einem Punkt x ∈ M, falls gilt:

  1. Es gibt eine Folge {tn}n∈ℕ in G mit limn→∞ tn = -∞,
    und
  2. limn→∞ Φ(x, tn) = x0.
Für ein x ∈ M heißt die Menge aller seiner α-Limespunkte seine α-Limesmenge, bezeichnet mit &alpha(x).

Für jedes x ∈ M ist α(x) eine in M abgeschlossene invariante Menge, für die gilt: \begin{eqnarray} \alpha (x) = \overset{- \infty }{\underset{T=0 \: t \leq T}{\cap}} \cup \phi (x,t). \end{eqnarray}Jeder Fixpunkt eines dynamischen Systems ist seine eigene α-Limesmenge.

Jeder geschlossene Orbit γ ⊂ M ist α-Limesmenge jedes Punktes x ∈ γ. Für dynamische Systeme in ℝ2 können außer Fixpunkten und geschlossenen Orbits nur α-Limesmengen auftreten, die aus Fixpunkten und diese verbindenden Orbits bestehen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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