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Lexikon der Mathematik: Alternante (einer multilinearen Abbildung)

macht aus einer beliebigen multilinearen Abbildung f die zugehörige alternierende multilineare Abbildung A(f) durch die Vorschrift: \begin{eqnarray}A(f):={A}_{r}(f):=\frac{1}{r!}\displaystyle \sum _{\sigma \in {S}_{r}}\text{sign}\,\sigma \,{f}^{\sigma }.\end{eqnarray}

Hierbei seien ℜ und 𝔖 zwei Vektorräume, r ∈ ℕ, f eine multilineare Abbildung von ℜ r in 𝔖 und Sr die symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe) vom Grade r, also die Menge der bijektiven Abbildungen von {1,…, r} in sich. Für σSr bezeichnet dabei sign σ das Vorzeichen (Signum) von σ, und mit x 1,…, xr aus ℜ ist fσ definiert durch \begin{eqnarray}{f}^{\sigma }({x}_{1},\mathrm{...},{x}_{r}):=f({x}_{\sigma (1)},\mathrm{...},{x}_{\sigma (r)}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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