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Lexikon der Mathematik: alternierende Multilinearform

eine Multilinearform f : Vn → 𝕂, wobei V ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 ist, die für alle (υ 1, …, υn) ∈ Vn erfüllt: \begin{eqnarray}f({\upsilon }_{1},...,{\upsilon }_{n})=0,\end{eqnarray}

falls zwei Indizes ij ∈ {1,…, n} existieren mit υi = υj.

Ist σSn eine Permutation der Indexmenge {1, …, n}, dann gilt für die alternierende Multilinearform f : \begin{eqnarray}f({\upsilon }_{\sigma (1)},\mathrm{....},{\upsilon }_{\sigma (n)})=\mathrm{sgn}(\sigma )\cdot f({\upsilon }_{1},\mathrm{...},{\upsilon }_{n})\end{eqnarray}

für alle (υ 1,…, υn) ∈ Vn, d. h. f ist antisymmetrisch. Die Menge der alternierenden Multilinearformen f : Vn → 𝕂 bildet bezüglich der komponentenweise definierten Verknüpfungen einen Vektorraum über 𝕂. Ist V ein r-dimensionaler Vektorraum, so heißt eine alternierende Multilinearform f : Vr → 𝕂 auch eine Determinantenfunktion. Jede Determinantenfunktion f auf der Menge der (r×r)-Matrizen über 𝕂 hat die Form \begin{eqnarray}f(A)=f(I).\det A,\end{eqnarray}

wobei I die (r×r)-Einheitsmatrix bezeichnet (Determinante einer Matrix).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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