eine wichtige Garben-Kohomologie.

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit, R ein kommutativer Ring mit Eins und \({\mathscr{S}}\) eine Garbe von R-Moduln. Außerdem sei \({\mathscr{U}}:={({U}_{i})}_{i\in I}\) eine offene Überdeckung von X, U_i ≠ ∅ für jedes i ∈ I. Man definiert

\begin{eqnarray}{U}_{{i}_{0},\ldots, {i}_{l}}:={U}_{{i}_{0}}\cap \ldots \cap {U}_{{i}_{l}}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{I}_{l}:=\{({i}_{0},\ldots, {i}_{l}):{U}_{{i}_{0},\ldots, {i}_{l}}\ne \varnothing \}.\end{eqnarray}

Ist S_n die Menge der Permutationen der Menge {0, …, n − 1}, so definiert man für σ ∈ S_n: sgn(σ) := +1, falls man σ durch eine gerade Zahl von Vertauschungen erhält, und sgn(σ) := −1 sonst. Eine l-dimensionale alternierende Kokette über \({\mathscr{U}}\) mit Werten in \({\mathscr{S}}\) ist eine Abbildung

\begin{eqnarray}\xi :{I}_{l}\to \displaystyle \mathop{\cup }\limits_{({i}_{0},\ldots, {i}_{l})}{\rm{\Gamma }}({U}_{{i}_{0},\ldots, {i}_{l}},S)\end{eqnarray}

1. \(\xi ({i}_{0},\ldots, {i}_{l})\in {\rm{\Gamma }}({U}_{{i}_{0},\ldots, {i}_{l}},S)\),
2. \(\xi ({i}_{\sigma (0)},\ldots, {i}_{\sigma (l)})={\rm{sgn}} (\sigma )\cdot \xi ({i}_{0},\ldots, {i}_{l})\) für \(\sigma \in {{\mathfrak{S}}}_{l+1}.\)

Die Menge aller l-dimensionalen alternierenden Koketten über \({\mathscr{U}}\) mit Werten in \({\mathscr{S}}\) bezeichnet man mit \({C}^{l} ({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\). Durch

\begin{eqnarray}({\xi }_{1}+{\xi }_{2})({i}_{0},\ldots, {i}_{l}):={\xi }_{1}({i}_{0},\ldots, {i}_{l})+{\xi }_{2}({i}_{0},\ldots, {i}_{l})\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}(r\cdot \xi )({i}_{0},\ldots, {i}_{l}):=r\cdot \xi ({i}_{0},\ldots, {i}_{l})\end{eqnarray}

Die Abbildung \({\delta }^{l}:{C}^{l}({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\to {C}^{l+1}({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\)mit

\begin{eqnarray}({\delta }^{l}\xi )({i}_{0},\ldots, {i}_{l}):=\\ =\displaystyle \sum _{\lambda =0}^{l+1}{(-1)}^{\lambda +1}(\xi ({i}_{0},\ldots, {\hat{i}}_{\lambda },\ldots, {i}_{l+1})|{U}_{{i}_{0},\ldots, {i}_{l+1}})\end{eqnarray}

Mit \({C}^{* }({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\) bezeichnet man den Ĉech-Komplex

\begin{eqnarray}{C}^{0}({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\mathop{\to }\limits^{\delta }{C}^{1}({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\mathop{\to }\limits^{\delta }{C}^{2}({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\to \ldots.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}(\varepsilon s)(i):=s|{U}_{i}.\end{eqnarray}

Mit den Bezeichnungen \({Z}^{l}(U,{\mathscr{S}}):={Z}^{l}({C}^{* }({\mathscr{U}},{\mathscr{S}}))\) bzw. \({B}^{l}(U,{\mathscr{S}}):={B}^{l}({C}^{* }({\mathscr{U}},{\mathscr{S}}))\) definiert man nun

\begin{eqnarray}{H}^{l}({\mathscr{U}},{\mathscr{S}}):=\frac{{Z}^{l}(U,{\mathscr{S}})}{{B}^{l}(U,{\mathscr{S}})}={H}^{l}({C}^{* }({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})),\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{H}^{0}({\mathscr{U}},{\mathscr{S}})\cong {\rm{\Gamma }}(X,{\mathscr{S}}).\end{eqnarray}