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Lexikon der Mathematik: ϵ-Inflation

ϵ-Aufblähung, in der Intervallrechnung Übergang von einem reellen Intervall \(a=[\underline{a},\,\bar{a}]\) zu einem reellen Intervall \( {\bf{a}}_{\varepsilon }=[{\mathop{a}\limits_{\_}}_{\varepsilon },\,{\bar{a}}_{\varepsilon }]\), das a im Innern enthält. Dabei hängt die Aufweitung gegenüber a von einem positiven reellen Parameter ab, der üblicherweise mit ϵ bezeichnet wird.

Beispiele sind \begin{eqnarray}{{\bf{\text{a}}}}_{\varepsilon }={\bf{\text{a}}}+[-\varepsilon,\varepsilon ]\cdot {\bf{\text{a}}}+[-\eta,\eta ]\end{eqnarray} oder \begin{eqnarray}{{\bf{\text{a}}}}_{\varepsilon }=(1+\varepsilon ){\bf{\text{a}}}-\varepsilon {\bf{\text{a}}}+[-\eta,\eta ],\end{eqnarray} wobei η > 0 eine kleine Konstante, bei Rechnung auf dem Computer in Maschinenintervallarithmetik etwa die kleinste Maschinenzahl ist.

Ist f : ℝ → ℝ eine stetige Funktion, bei der ein Fixpunkt x* nachgewiesen werden soll, so berechnet man häufig einige Iterierte des Verfahrens \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{rll}{{\bf{\text{x}}}}^{(0)} & = & [\tilde{x},\tilde{x}],\\ {{\bf{\text{x}}}}^{(k+1)} & = & {{\bf{\text{f}}}\bf(x}_{\varepsilon }^{(k)}\text{),}\,\,\,k=0,1,\ldots,\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray} in dem \(\tilde{x}\) eine auf herkömmliche Weise berechnete Näherung von x* und f(x) die Intervallauswertung von f über dem Intervall x bezeichnen. Gilt dabei \({x}^{({k}_{0}+1)}\subseteq {x}_{\varepsilon }^{{k}_{0}}\) für ein k0, so bricht man (1) ab. Wegen der Einschließungseigenschaft der Intervallrechnung bildet f in diesem Fall \({x}_{\varepsilon }^{({k}_{0})}\) in sich ab, und der Brouwersche Fixpunktsatz garantiert die Existenz eines Fixpunkts in \({x}_{\varepsilon }^{({k}_{0})}\).

Die Definition der ϵ-Aufblähung kann auf analoge Weise auf Intervallvektoren und Funktionenschläuche erweitert werden. Eine Iteration wie in (1), verbunden mit einem geeigneten Fixpunktsatz, ist dann ebenfalls möglich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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