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Lexikon der Mathematik: Amplitudinisfunktion

Umkehrfunktion des elliptischen Integrals erster Gattung \begin{eqnarray}u(\varphi )=F(\varphi ,k)=\displaystyle {\int }_{0}^{\varphi }\frac{dt}{\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}t}},\end{eqnarray}

wobei 0 < k < 1. Sie wird mit φ = am u bezeichnet.

Mit dieser Funktion werden drei weitere Funktionen gebildet, nämlich \begin{eqnarray}{\rm{sn}}\,u & := & \sin \,{\rm{am}}\,u,\,{\rm{cn}}\,u:=\cos \,{\rm{am}}\,u,\\ {\rm{dn}}\,u & := & \Delta \,{\rm{am}}\,u\,:=\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}\,{\rm{am}}\,u}.\end{eqnarray}

Sie heißen sinus amplitudinis, cosinus amplitudinis und delta amplitudinis. Alle drei Funktionen lassen sich meromorph in die ganze Ebene zu elliptischen Funktionen fortsetzen. Setzt man \begin{eqnarray}K & := & \displaystyle {\int }_{0}^{\pi /2}\frac{dt}{\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}t}},\\ {K}^{\prime} & := & \displaystyle {\int }_{0}^{\pi /2}\frac{dt}{\sqrt{1-(1-{k}^{2})\,{\sin }^{2}\,t}},\end{eqnarray}

so gilt für m, n ∈ ℤ \begin{eqnarray}\text{sn}(u+4mK+2ni{K}^{\prime})={\rm{sn}}\,u,\\ \text{cn}(u+4mK+2n(K+i{K}^{\prime}))={\rm{cn}}\,u,\\ \text{dn}(u+2mK+4ni{K}^{\prime})={\rm{dn}}\,u.\end{eqnarray}

Weiter gilt \begin{eqnarray}{\text{sn}}^{2}\,u+{\text{cn}}^{2}\,u=1,\\ {\text{dn}}^{2}\,u+{k}^{2}{\text{sn}}^{2}\,u=1.\end{eqnarray}

Alle drei Funktionen haben einfache Polstellen an u = 2mK + (2n + 1)iK′, und für die Nullstellen gilt \begin{eqnarray}{\rm{sn}}\,u=0 & \iff & u=2mK+2ni{K}^{\prime},\\ {\rm{cn}}\,u=0 & \iff & u=(2m+1)K+2ni{K}^{\prime},\\ {\rm{dn}}\,u=0 & \iff & u=(2m+1)K+(2n+1)i{K}^{\prime},\end{eqnarray}

wobei m, n ∈ ℤ.

Schließlich gilt für die Ableitungen \begin{eqnarray}{{\rm{sn}}}^{\prime}\,u & = & {\rm{cn}}\,u\,{\rm{dn}}\,u,\\ {{\rm{cn}}}^{\prime}\,u & = & -{\rm{sn}}\,u{\rm{dn}}\,u,\\ {{\rm{dn}}}^{\prime}\,u & = & -{k}^{2}\,{\rm{sn}}\,u\,{\rm{cn}}\,u.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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