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Lexikon der Mathematik: analytische Algebra

Faktorring eines konvergenten Potenzreihenringes, fundamentaler Begriff bei der Untersuchung „singulärer Punkte“ in den Lösungsmengen von Systemen von holomorphen Gleichungen.

Für festes a ∈ ℂ n bestimmt offensichtlich jede konvergente Potenzreihe P = Σ cνXν eine holomorphe Funktion auf einem Polyzylinder Pn (a; r) durch 𝓏 ↦ Σ cν (𝓏 − a) ν. Die Menge n𝒪 a solcher Funktionen ist eine Algebra.

I. allg. betrachtet man nur die Algebra n𝒪0, da die Translation τ : ℂ n → ℂ n, 𝓏 ↦ 𝓏 − a einen Algebraisomorphismus τ 0 : n𝒪0 n𝒪 a bestimmt. n𝒪0 ist eine lokale Algebra mit maximalem Ideal \begin{eqnarray}{}_{n}{\mathfrak{m}}{}_{0} := {}_{n}{\mathfrak{m}}\,\,:=\,\,\{P\in {}_{n}{\mathscr{O}}{}_{0}|P(0)=0\}\\ \,\,\,\,\,\,\,= {{\mathfrak{m}}}_{[[X]]}\cap {}_{n}{\mathscr{O}}{}_{0}\,\,:=\,\,{{\mathfrak{m}}}_{\{X\}}.\end{eqnarray}

Dabei bezeichne 𝔪[[X]] das maximale Ideal der Algebra der formalen Potenzreihen in n Unbestimmten über ℂ.

Eine Algebra heißt analytische Algebra, wenn sie isomorph zu der Restklassenalgebra n𝒪0/𝔞 über einem Ideal a ist.

[1] Kaup, L.; Kaup, B.: Holomorphic Functions of Several Variables. de Gruyter Studies in Mathematics, 1983.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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