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Lexikon der Mathematik: analytische Garbe

Garbe von n𝒪-Moduln.

Ist ζ 0 ∈ ℂ n ein Punkt, so versteht man unter n𝒪ζ 0 = (Hn)ζ 0 die ℂ-Algebra der konvergenten Potenzreihen in ζ 0. Ein beliebiges Element von n𝒪ζ 0 hat die Gestalt \begin{eqnarray}\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}{(\zeta -{\zeta }_{0})}^{v}\end{eqnarray}. Zu jedem Punkt ζ ∈ ℂ n gehört also eine ℂ-Algebra n𝒪 ζ.

Die disjunkte Vereinigung \begin{eqnarray}{}_{n}{\mathscr{O}}:=\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{\zeta \in {\Bbb{C}}^{n}}{}_{n}{\mathscr{O}}{}_{\zeta }\end{eqnarray}

aller dieser Algebren ist eine Menge über dem ℂ n, versehen mit einer natürlichen Projektion π : n𝒪 → ℂ n, die eine Potenzreihe fζ jeweils auf den Entwicklungspunkt ζ abbildet. Es gibt eine natürliche Topologie auf n𝒪, die π zu einer stetigen Abbildung macht und auf jedem „Halm“ n𝒪 ζ die diskrete Topologie induziert: Ist f ζ 0 n 𝒪, so gibt es eine offene Umgebung U(ζ 0) ⊂ ℂ n und eine holomorphe Funktion f auf U, so daß die Reihe f ζ 0 in U gleichmäßig gegen f konvergiert. Die Funktion f läßt sich aber wiederum in jedem Punkt ζU in eine konvergente Potenzreihe fζ entwickeln. f induziert daher eine Abbildung s : U n𝒪 mit den folgenden Eigenschaften:

  • πs = id U,
  • s(ζ 0) = 0s (U) ⊂ n𝒪.
  • Alle so konstruierten Mengen s (U) bilden in n𝒪 ein System von Umgebungen von f ζ 0.

    Versieht man n𝒪 mit der dadurch induzierten Topologie, so nennt man den topologischen Raum n𝒪 die Garbe der konvergenten Potenzreihen.

    Die ℂ-Algebren n𝒪 ζ = π −1 (ζ) nennt man die Halme der Garbe. Man kann zeigen, daß π lokal topologisch ist, und daß die algebraischen Operationen in n𝒪 stetig sind. Eine analytische Garbe über einem Bereich D ⊂ ℂ n ist eine Garbe von n𝒪-Moduln über D.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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