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Lexikon der Mathematik: Analytische Geometrie

A. Filler

I. Gegenstand der analytischen Geometrie ist die Untersuchung geometrischer Probleme mit rechnerischen (algebraischen) Methoden. Die Grundlage dafür besteht darin, geometrischen Objekten Zahlen (Koordinaten) zuzuordnen und umgekehrt. Geometrische Konstruktionen und Untersuchungen lassen sich dann durch Verfahren der Algebra und der Analysis ersetzen bzw. mittels dieser durchführen. Damit stellt die analytische Geometrie überaus mächtige Hilfsmittel zur Lösung geometrischer Probleme aber auch für die Physik und andere Naturwissenschaften zur Verfügung. Umgekehrt können in bestimmten Fällen auch algebraische Fragestellungen durch Rückführung auf geometrische Aufgaben gelöst werden.

Als Begründer der analytischen Geometrie können Renè Descartes (1596–1650) [2] und Pierre de Fermat (1601–1665) angesehen werden, wobei sich die Bezeichnungsweisen von Descartes als glücklicher erwiesen und Fermats Abhandlungen erst später (1679) veröffentlicht wurden. Die Entwicklung der Koordinatenmethode durch Descartes war eng mit der intensiven Entwicklung der Astronomie, der Mechanik und anderer Bereiche der Physik und Technik im 17. Jahrhundert verbunden, diese Methode wiederum war grundlegend für die Entwicklung der Analysis in der zweiten Hälfte des 17. und im Verlaufe des 18. Jahrhunderts (Newton, Leibniz), die ihrerseits zum Aufschwung der analytischen Geometrie beitrug. Eine bedeutende Weiterentwicklung erfolgte durch Leonhard Euler (1707–1783), der zunächst vor allem das Ziel verfolgte, eine vollständige algebraische Theorie der Kurven zweiten Grades zu entwerfen und auf den die heutige Ausformung der analytischen Geometrie wesentlich zurückgeht. Die durch die analytische Geometrie entstandenen Hilfsmittel wurden dann gegen Ende des 18. Jahrhunderts u. a. von Joseph Louis Lagrange für die Entwicklung der analytischen Mechanik und von Gaspard Monge für die Schaffung von Ansätzen der Differentialgeometrie [6] aufgegriffen.

II. Um in der Anschauungsebene (euklidischen Ebene) mit Mitteln der analytischen Geometrie arbeiten zu können, wird zunächst ein kartesisches Koordinatensystem (benannt nach Descartes, latinisiert Renatus Cartesius), bestehend aus zwei zueinander senkrechten gerichteten Geraden festgelegt, der Abszisse (x-Achse) und der Ordinate (y-Achse). Dem Schnittpunkt O (Koordinatenursprung) beider Koordinatenachsen wird auf beiden Achsen die Zahl Null zugewiesen, jedem anderen Punkt auf den Achsen wird jeweils eine Zahl als Koordinate zugeordnet, deren Betrag der Abstand des Punktes vom Ursprung ist und deren Vorzeichen sich aus der Gerichtetheit (Orientierung) der jeweiligen Achse ergibt. Die beiden Koordinatenachsen können somit als zwei zueinander senkrechte Zahlengeraden aufgefaßt werden. Einem beliebigen Punkt P der Ebene werden durch die Fußpunkte seiner Lote auf die Koordinatenachsen eineindeutig zwei Zahlen x und y zugeordnet: P(x; y).

Eine Kurve in der Ebene läßt sich bezüglich eines so festgelegten Koordinatensystems als Menge der Punkte P darstellen, deren Koordinatenpaare (x; y) die Lösungsmenge einer Gleichung der Form

\begin{eqnarray}\,A\cdot {x}^{2}+B\cdot {y}^{2}+C\cdot {z}^{2}+ \\ +D\cdot xy+E\cdot yz+F\cdot xz+ \\ +K\cdot x+L\cdot y+M\cdot z+N=0 \,\,\,(6)\end{eqnarray}

besonders interessant, durch welche die Flächen zweiter Ordnung (z. B. Ellipsoide sowie verschiedene Paraboloide und Hyperboloide) beschrieben werden. Auch für deren Untersuchung ist es sinnvoll, durch Hauptachsentransformation zu einem Koordinatensystem zu gelangen, bezüglich dessen (6) eine übersichtlichere Form annimmt.

IV. Häufig ist es günstiger, statt der impliziten Beschreibung geometrischer Objekte durch Koordinatengleichungen wie (1)–(6) explizite Darstellungen in Abhängigkeit von einem oder mehreren Parametern anzugeben. Diese werden als Parameterdarstellungen bzw. Parametergleichungen bezeichnet. So wird eine Gerade g im Raum durch eine Parametergleichung der Form \begin{array}{*{20}c} {g:\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } \\ {y_0 } \\ {z_0 } \\ \end{array} } \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_1 } \\ {a_2 } \\ {a_3 } \\ \end{array} } \right){\text{mit }}t \in \mathbb{R}} \,\,\,{(7)} \\ \end{array}

dargestellt. Dabei ist t der Parameter, (x 0, y 0, 𝓏0) sind die Koordinaten eines gegebenen Punktes P 0g und \begin{eqnarray}{\left( {\begin{array}{*{20}c} {a_1 } \\ {a_2 } \\ {a_3 } \\ \end{array} } \right)}\end{eqnarray} ist ein Richtungsvektor der Geraden g. Für die Darstellung einer Ebene ϵ werden zwei Richtungsvektoren und zwei zugehörige Parameter s und t benötigt: \begin{array}{*{20}c} {\varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } \\ {y_0 } \\ {z_0 } \\ \end{array} } \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_1 } \\ {a_2 } \\ {a_3 } \\ \end{array} } \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {b_1 } \\ {b_2 } \\ {b_3 } \\ \end{array} } \right)} \,\,\,{(8)} \\ \end{array}

(mit s, t ∈ ℝ). Auch die Darstellung durch Parametergleichungen ist nicht auf lineare geometrische Objekte beschränkt. So hat ein beliebiges Ellipsoid mit dem Mittelpunkt im Koordiantenursprung eine Parametergleichung der Form \begin{array}{*{20}c} {\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a \cdot \cos \lambda \cdot \cos \phi } \\ {b \cdot \sin \lambda \cdot \cos \phi } \\ {c \cdot \sin \phi } \\ \end{array} } \right)} \,\,\,{(9)} \\ \end{array}

mit λ, ϕ ∈ ℝ, 0 ≤ λ ≤ 2π und −πϕπ. Für a = b = c wird durch (9) eine Kugel mit dem Radius r = a = b = c beschrieben.

V. In den vorangegangenen Betrachtungen wurde zur Konstruktion eines Koordinatensystems die Existenz einer Metrik (Möglichkeit der Zuordnung reeller Zahlen als Maße von Strecken und Winkeln) vorausgesetzt. In den durch die Axiome der euklidischen Geometrie bestimmten geometrischen Strukturen Ebene bzw. Raum ist diese auch stets gegeben. Um analytische Geometrie betreiben zu können, ist die Existenz einer Metrik jedoch keine zwingende Voraussetzung. Ebensowenig ist es erforderlich, auf bereits vorhandene geometrische Strukturen aufzubauen, sondern der Aufbau einer Geometrie kann allein auf Grundlage algebraischer Strukturen erfolgen.

Das als affine Geometrie bezeichnete Teilgebiet der analytischen Geometrie kommt völlig ohne die Verwendung von Maßen aus. Ausgegangen wird dabei allgemein von einem n–dimensionalen affinen Punktraum An und dem zugehörigen Vektorraum Vn. Um den Punkten des Raumes An Koordinaten zuordnen zu können, müssen in Vn eine beliebige Basis B ={a 1, a 2,⋯, an} und in An ein Punkt O (Koordinatenursprung) festgelegt werden. Bezüglich des so definierten Koordinatensystems K ={O, a 1, a 2,⋯, an} läßt sich jedem Punkt PAn ein n-Tupel (x 1; x 2; ⋯; xn) ∈ ℝ n zuordnen (wobei ℝ n der Raum der n-Tupel reeller Zahlen ist). Diese Zuordnung ist ein Isomorphismus, d. h. eine eineindeutige affine Abbildung von An auf ℝ n. Dadurch ist es möglich, im ℝ n durchgeführte Untersuchungen auf die Punkte des affinen Punktraumes zu übertragen. Insbesondere lassen sich Geraden, Ebenen, Kurven, Flächen und auch höherdimensionale geometrische Objekte als Lösungsmengen von Gleichungen bzw. Gleichungssystemen darstellen. Auf dieser Grundlage können die Lagebeziehungen und Schnittverhältnisse geometrischer Objekte der Ebene, des dreidimensionalen Raumes sowie höherdimensionaler Räume untersucht werden. Auch die Kurven und Flächen zweiter Ordnung lassen sich in ihren wichtigsten Eigenschaften mit den Mitteln der affinen Geometrie beschreiben und klassifizieren. Allerdings ist hierbei keine Unterscheidung zwischen einem Kreis und einer Ellipse (bzw. die Auszeichnung des Kreises als besondere Ellipse) möglich, da diese auf einer metrischen Eigenschaft beruht.

Wird auf dem zu einem affinen Punktraum An gehörigen Vektorraum Vn eine Metrik (z. B. eine positiv definite symmetrische Bilinearform bzw. ein solches Skalarprodukt) definiert, so kann auf An metrische Geometrie betrieben werden, da zusätzlich zu den Untersuchungsmethoden der affinen Geometrie Strecken- und Winkelmaße zur Verfügung stehen. Auf dieser Grundlage sind nun auch Abstandsbestimmungen, Orthogonalitätsbetrachtungen und Winkelmessungen möglich.

Das Instrumentarium der analytischen Geometrie ist durch die Verknüpfung der Geometrie mit der Algebra und der Analysis vielfältig erweiterbar. So stellte Felix Klein in seinem Erlanger Programm (Erlanger Programm von Felix Klein) eine universell anwendbare Methode der Untersuchung und Klassifizierung unterschiedlicher Geometrien anhand der Invarianten von Transformationsgruppen dar. Weiterhin wurde die analytische Geometrie durch die Anwendung der vielfältigen Methoden der Analysis zur Differentialgemetrie weiterentwickelt, die sich zu einem der wichtigsten und mächtigsten Forschungsgegenstände und Hilfsmittel der Mathematik sowie der Naturwissenschaften herausgebildet hat.

Literatur

[1] Brehmer S., Belkner H.: Einführung in die analytische Geometrie und lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1974.

[2] Descartes R.: La gèometrie. Leiden, 1637.

[3] Efimov N. W.: Kratki kurs analititscheskoi geometrii. Nauka Moskau, 1975.

[4] Fischer G.: Analytische Geometrie. Vieweg Braunschweig, 1991.

[5] Gabriel P.: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra. Birkhäuser Basel, 1996.

[6] Monge G.: Application de l’analyse à la gèomètrie. 4. Edition Paris, 1809.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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