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Lexikon der Mathematik: analytische Kreisscheibe

analytische Scheibe, offene Menge in einer Riemannschen Fläche, die durch eine Karte bijektiv auf eine Kreisscheibe um 0 in ℂ bezogen wird.

Es sei X eine Riemannsche Fläche. Mit einer „Karte einer Riemannschen Fläche“ ist eine Karte gemeint, die zu einem der Atlanten gehört, die die komplexe Struktur definieren. Karten werden auch lokale Koordinaten genannt.

Ist φ : UV eine Karte der Riemannschen Fläche X und h : VW ⊂ ℂ eine biholomorphe Abbildung, so ist auch hφ : UW eine Karte von X. Insbesondere gibt es zu jedem x 0X lokale Koordinaten 𝓏 : UV mit x 0U und 𝓏(x 0) = 0.

Solche lokalen Koordinaten nennt man (lokale) Koordinaten um x 0.

Ist 𝓏 : UV eine lokale Koordinate um x 0 und D = Dr (0) ⊂ V eine Kreisscheibe um 0 mit Radius r, Δ = 𝓏−1 (D), so nennt man 𝓏 : Δ → D einen Koordinatenkreis oder auch eine analytische (Kreis-)Scheibe um x 0 und r den zugehörigen Radius.

Eine Anwendung der analytischen Kreisscheibe findet sich bei der Übertragung der lokalen Theorie der holomorphen Funktionen mit Hilfe lokaler Koordinaten von der komplexen Ebene auf Riemannsche Flächen.

Ist z. B. f holomorph in einer Umgebung eines Punktes x 0 einer Riemannschen Fläche X und ist 𝓏 eine lokale Koordinate um x 0, so läßt sich f in eine Potenzreihe \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{(z(x))}^{v}\end{eqnarray}

entwickeln, welche in einer analytischen Kreisscheibe um x 0 konvergiert. Die Koeffizienten aν hängen natürlich von der Wahl der lokalen Koordinate ab.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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