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Lexikon der Mathematik: analytische Untermannigfaltigkeit

analytische Menge, die lokal biholomorph als linearer Unterraum in den ℂ n einbettbar ist.

Es sei X ein Bereich im ℂ n. Eine abgeschlossene Teilmenge T von X heißt Untermannigfaltigkeit von X, wenn für jeden Punkt aT eine offene Umgebung U von a in X und eine biholomorphe Abbildung ϕ : UP auf einen Polyzylinder um 0 = ϕ (a) in ℂ n existiert, so daß bezüglich einer Zerlegung P = Ps × Pn s gilt: \begin{eqnarray}T\cap U={\varphi }^{-1}({P}^{s}\times 0).\end{eqnarray}

Die Zahl s ist durch den Punkt aT bestimmt und wird die Dimension von T in a genannt, bezeichnet mit dim a T. Der folgende Satz zeigt, daß Untermannigfaltigkeiten analytische Mengen sind:

Sei TX abgeschlossen, dann ist T genau dann eine Untermannigfaltigkeit von X, wenn für jeden Punkt aT eine Umgebung UX von a und eine Abbildung fHol (U, ℂ m) existiert, so daß gilt:

  • UT = {xU | f (x) = 0}, und
  • \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial z}\end{eqnarray}hat auf U konstanten Rang.
  • Ist T eine Untermannigfaltigkeit von X, dann gilt \begin{eqnarray}di{m}_{a}T=n-\text{Rang}\frac{\partial f}{\partial z}(a)\end{eqnarray}.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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