wichtiges Hilfsmittel beim Studium von Holomorphiebereichen.

Es seien B ⊂ ℂ ⁿ und V ₁,⋯, V_k ⊂ ℂ Bereiche, f ₁,⋯, f_k holomorphe Funktionen in B und U ⊂ B eine offene Teilmenge. Die Menge \begin{eqnarray}P = \left\{ {z \in U:f_j (z) \in V_j {\text{f}}{\ddot{\text{u}}}{\text{r}} = 1, \ldots, k} \right\}\end{eqnarray}

heißt analytisches Polyeder in B, falls gilt P ⊂ U. Ist außerdem \begin{eqnarray}{V}_{1}=\cdots ={V}_{k}=\{z\in \Bbb{C}:|z|\lt 1\},\end{eqnarray}

so spricht man von einem speziellen analytischen Polyeder in B.

Der folgende Satz und das darauffolgende Beispiel zeigen, daß die analytischen Polyeder den Vorrat an Beispielen von Holomorphiebereichen bereichern:

Sei B ⊂ ℂ ⁿ ein Bereich. Dann ist jedes analytische Polyeder in B ein Holomorphiebereich.

Im folgenden geben wir ein Beispiel: Es sei q < 1 eine positive reelle Zahl und \begin{eqnarray}P=\{z\in {\Bbb{C}}^{2}:|{z}_{1}|\lt 1,|{z}_{2}|\lt 1,|{z}_{1}\cdot {z}_{2}|\lt q\}.\end{eqnarray}

Dann ist P offenbar ein analytisches Polyeder, aber weder ein elementar-konvexer Bereich, noch ein kartesisches Produkt von Bereichen.

Der folgende Satz zeigt, daß jeder Holomorphiebereich schon „fast“ ein analytisches Polyeder ist:

Jeder Holomorphiebereich B ⊂ ℂ ⁿ läßt sich im folgenden Sinne durch spezielle Polyeder ausschöpfen:

Es gibt eine Folge (P_j), von speziellen analytischen Polyedern in B mit P_j ⊂ P _j+1und \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cup }}{P}_{j}=B.\end{eqnarray}