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Lexikon der Mathematik: Anfangsrandwertproblem

spezielle Aufgabenstellung im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen, die sowohl von (einer oder mehreren) Raumvariablen x, als auch von einer Zeitvariablen t abhängen. Die Lösung muß also sowohl Randbedingungen als auch Anfangsbedingungen genügen.

Man nennt eine solche Problemstellung auch gemischt, um zu verdeutlichen, daß es sich sowohl um ein Anfangswertproblem als auch um ein Randwertproblem handelt.

Wir geben ein Beispiel: Bei parabolischen Gleichungen wie etwa der Wärmeleitungsgleichung \begin{eqnarray}{u}_{t}-{\delta}u=f(u,x,t)\end{eqnarray}

auf einem rechteckigen Gebiet, also z. B. für \begin{eqnarray}t\gt {t}_{0} & \,\,\text{und}\,\, & a\lt x\lt b.\end{eqnarray}

werden für die unbekannte Funktion u = u(x, t) auf dem Rand des Gebiets die Werte \begin{eqnarray}u(a,t)=\varphi (t)\,\text{und}\,\,u(b,t)=\psi (t)\end{eqnarray}

vorgeschrieben, während für den Anfangszeitpunkt t 0 die Anfangswerte \begin{eqnarray}u(x,{t}_{0})={u}_{0}(x)\end{eqnarray}

vorgegeben werden.

Auch bei hyperbolischen Gleichungen können zuweilen Anfangsrandwertprobleme auftreten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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