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Lexikon der Mathematik: Anfangswertproblem (für eine gewöhnliche Differentialgleichung)

Cauchy-Problem, Problem, Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung zu finden, die speziellen Zusatzbedingungen (Anfangsbedingungen) genügen soll.

Sei G ⊂ ℝ n +1 offen, G ≠ ∅ und f : G → ℝ stetig. Sei (x 0, y 1,0,⋯, y n,0) ∈ G und M die Menge der n-mal stetig differenzierbaren reellen, auf einem Intervall definierten Funktionen. Schließlich sei (x, y(x), y′(x), ⋯., y ( n −1)(x)) ∈ G (xD(y(·))).

Die Aussageform über M

\begin{eqnarray}{y}^{(n)}=f(x,y,{y}^{^{\prime} },{y}^{^{\prime\prime} },\ldots, {y}^{(n-1)})\\ \,y({x}_{0})={y}_{1,0},\ldots {y}^{(n-1)}({x}_{0})={y}_{n,0}\,(1)\end{eqnarray}

heißt Anfangswertproblem n-ter Ordnung. Dabei heißen x 0, y 1,0,⋯, y n,0 Anfangswerte und (1) Anfangsbedingungen. Für Differentialgleichungssysteme wird ein Anfangswertproblem analog definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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