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Lexikon der Mathematik: Anfangswertproblem (für eine partielle Differentialgleichung)

die Aufgabe, Lösungen einer partiellen Differentialgleichung zu finden, die zu einem gegebenen Zeitpunkt einen vorgegebenen Wert annehmen.

Zumeist betrachtet man solche Probleme im Zusammenhang mit hyperbolischen Gleichungen, die neben einer Raumvariablen x auch eine Zeitvariable t enthalten.

Das Anfangswertproblem besteht dann in der Lösung einer hyperbolischen partiellen Differentialgleichung unter Vorgabe von Anfangswerten längs einer Kurve im Variablenraum, z. B. der Geraden t = 0. Die präzise Definition kann in vergleichbarer Weise wie beim Anfangswertproblem (für eine gewöhnliche Differentialgleichung) gegeben werden.

Ein einfaches Beispiel ist die Anfangswertaufgabe \begin{eqnarray}{u}_{t}(x,t)+a(x,t){u}_{x}(t,x) & = & f(x,t),\\ u(x,0) & = & \varphi (x),\\ -\infty \lt x\lt \infty, t & \ge & 0,\end{eqnarray}

wobei a, f und ϕ vorgegeben sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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