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Lexikon der Mathematik: Anordnung der natürlichen Zahlen

die durch \begin{eqnarray}m\lt n:\iff \exists k\in \Bbb{N}m+k=n & (m,n\in \Bbb{N})\end{eqnarray}

erklärte Ordnung auf ℕ, wenn die natürlichen Zahlen ℕ axiomatisch eingeführt werden. Man definiert mit Hilfe von < auf die übliche Weise die Relationen >, ≤, ≥ auf ℕ. Definiert man ℕ als Menge der Kardinalzahlen nicht-leerer endlicher Mengen oder als die kleinste induktive Teilmenge des axiomatisch eingeführten Körpers ℝ der reellen Zahlen, so erhält man die Ordnung auf ℕ aus der Ordnung auf den Kardinalzahlen bzw. der Ordnung auf ℝ. Mit der Addition ist (ℕ, ≤) eine geordnete Halbgruppe und mit der Multiplikation eine geordnete Halbgruppe mit Einselement 1, insgesamt ein geordneter Halbring. Es gilt 1 ≤ n für alle n ∈ ℕ (Minimaleigenschaft der Eins). (ℕ, ≤) ist daher eine Wohlordnung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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