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Lexikon der Mathematik: Anordnung der rationalen Zahlen

die durch \begin{eqnarray}\frac{a}{b}\lt \frac{c}{d}:\iff ad\lt cb & (a,c\in \Bbb{Z};b,d\in \Bbb{N})\end{eqnarray}

erklärte Ordnung auf ℚ, wenn die rationalen Zahlen ℚ als Brüche \begin{eqnarray}\frac{a}{b}\end{eqnarray} ganzer Zahlen a, b mit b ≠ 0 eingeführt werden. Die Ordnung auf ℚ ist dann eine Fortsetzung der Ordnung auf ℤ. Man definiert mit Hilfe von < auf die übliche Weise auch die Relationen >, ≤, ≥ auf ℚ. Definiert man ℕ als die kleinste induktive Teilmenge des axiomatisch eingeführten Körpers ℝ der reellen Zahlen, ℤ als −ℕ ∪ {0} ∪ ℕ und ℚ als die Menge derjenigen reellen Zahlen, die sich als Quotient ganzer Zahlen schreiben lassen, so erhält man die Ordnung auf ℚ aus der Ordnung auf ℝ. (ℚ, ≤) ist ein archimedischer Körper.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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