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Lexikon der Mathematik: Anordnung der reellen Zahlen

die durch \begin{eqnarray}\langle {p}_{n}\rangle \lt \langle {q}_{n}\rangle :\iff \\ \exists \varepsilon \gt 0\exists N\in \Bbb{N}\forall n\ge N & {q}_{n}-{p}_{n}\gt \varepsilon \end{eqnarray}

für ⟨pn⟩, ⟨qn⟩ ∈ ℝ erklärte Ordnung auf ℝ, wenn die reellen Zahlen ℝ als Äquivalenzklassen ⟨pn⟩ von Cauchy-Folgen (pn) rationaler Zahlen bzgl. der durch \begin{eqnarray}({p}_{n})\sim ({q}_{n}):\iff {q}_{n}-{p}_{n}\to 0 & (n\to \infty )\end{eqnarray}

gegebenen Äquivalenzrelation eingeführt werden. Die Ordnung auf ℝ ist dann eine Fortsetzung der Ordnung auf ℚ. Man definiert mit Hilfe von < auf die übliche Weise auch die Relationen >, ≤, ≥ auf ℝ. Definiert man ℝ über Dedekind-Schnitte, Dezimalbruchentwicklungen, Äquivalenzklassen von Intervallschachtelungen oder Punkte der Zahlengeraden, so muß man für diese eine Ordnung erklären. (ℝ, ≤) ist ein vollständiger archimedischer Körper. Wird ℝ axiomatisch als vollständiger archimedischer Körper eingeführt, so ist die Ordnung schon als Teil der Definition gegeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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