Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Anosow, Satz von

lautet:

Sei \begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}der hyperbolische Torus-Automorphismus auf T2, der durch die Matrix \begin{eqnarray}A: = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \,\, 1 \\ 1 \,\, 1 \\ \end{array} } \right)\end{eqnarray}gegeben ist. Weiter sei die Menge der Diffeomorphismen auf 𝕋2mit der C 1-Topologie ausgestattet.

Dann gibt es eine Umgebung U(\begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}) von \begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}so, daß für jeden Diffeomorphismus BU(\begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}) ein Homöomorphismus h : 𝕋2 → 𝕋2existiert mit hB = \begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}h.

Der Satz sagt, daß die Arnold-Katze in der C 1-Topologie strukturstabil ist. Durch geeignete Wahl des Diffeomorphismus B nahe genug bei \begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray} kann die Koordinatentransformation h beliebig nahe (in der C 0-Topologie) zur Identität gewählt werden, jedoch i.allg. nicht glatt.

[1] Arnold, V.I.: Geometrische Methoden in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1987.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos