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Lexikon der Mathematik: Anosow, Satz von

lautet:

Sei\begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}der hyperbolische Torus-Automorphismus auf T2, der durch die Matrix\begin{eqnarray}A: = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \,\, 1 \\ 1 \,\, 1 \\ \end{array} } \right)\end{eqnarray}gegeben ist. Weiter sei die Menge der Diffeomorphismen auf 𝕋2mit der C1-Topologie ausgestattet.

Dann gibt es eine Umgebung U(\begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}) von\begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}so, daß für jeden Diffeomorphismus BU(\begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}) ein Homöomorphismus h : 𝕋2 → 𝕋2existiert mit hB = \begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray}h.

Der Satz sagt, daß die Arnold-Katze in der C1-Topologie strukturstabil ist. Durch geeignete Wahl des Diffeomorphismus B nahe genug bei \begin{eqnarray}\hat{A}\end{eqnarray} kann die Koordinatentransformation h beliebig nahe (in der C0-Topologie) zur Identität gewählt werden, jedoch i.allg. nicht glatt.

[1] Arnold, V.I.: Geometrische Methoden in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1987.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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