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Lexikon der Mathematik: antiholomorphe Differentialform

Differentialform φ vom Typ (0, q) mit ∂φ = 0.

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit und E ( l ) = E ( l ) (X) die Menge aller beliebig oft differenzierbaren l-Formen auf X. Eine reell-differenzierbare Funktion f ist genau dann holomorph, wenn \begin{eqnarray}{f}_{{\bar{z}}_{v}}=0\end{eqnarray} für ν = 1,⋯, n, wenn also \begin{eqnarray}\bar{\partial }f=0\end{eqnarray} ist. Entsprechend folgt für \begin{eqnarray}\phi ={\phi }^{(p,0)}=\displaystyle \sum _{1\le {i}_{1}\lt \ldots {i}_{p}\le n}{a}_{{i}_{1}\ldots {i}_{p}}d{z}_{{i}_{1}}\wedge \ldots \wedge d{z}_{{i}_{p}}:\end{eqnarray}

Es ist \begin{eqnarray}{\bar{\partial }}_{\phi }=0\end{eqnarray} genau dann, wenn a i 1ip stets holomorph ist. Man trifft daher folgende Definition: φE ( l ) heißt holomorph, falls gilt:

  1. φ ist vom Typ (p, 0), und
  2. \begin{eqnarray}{\bar{\partial }}_{\phi }=0\end{eqnarray}.

φE ( l ) heißt antiholomorph, falls gilt:

  1. φ ist vom Typ (0, q), und
  2. φ = 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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