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Lexikon der Mathematik: Antikommutativität

Eigenschaft einer Operation ∗ : G × GG zu einer Gruppe (G, +). Antikommutativität liegt vor, wenn ab = −(ba) für a, bG.

Man sagt dann, daß a und b bzgl. ∗ antikommutieren. Antikommutieren alle a, bG bzgl. ∗, so heißt ∗ antikommutativ. Beispiel: Das Vektorprodukt × auf (ℝ3, +). Ist (R, ·, +) ein Ring, so ist der durch [a, b] R = a · bb · a für a, bR definierte Kommutator [ , ] R : R × RR antikommutativ, und der durch {a, b} R = a · b + b · a für a, bR definierte Antikommutator { , } R ist kommutativ.

Genau dann, wenn · : G × GG kommutativ ist, ist [ , ] R = 0, und genau wenn · : G × GG antikommutativ ist, ist { , } R = 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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