Verallgemeinerung der hypergeometrischen Funktion mit zwei Variablen, definiert über die folgenden Reihen:

\begin{eqnarray}{F}_{1}(\alpha, \beta, {\beta }^{^{\prime} };\gamma ;x,y)=\\ =\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(\alpha )}_{m+n}{(\beta )}_{m}{({\beta }^{^{\prime} })}_{n}}{m!n!{(\gamma )}_{m+n}}{x}^{m}{y}^{n},\\ {F}_{2}(\alpha, \beta, {\beta }^{^{\prime} };\gamma, {\gamma }^{^{\prime} };x,y)=\\ =\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(\alpha )}_{m+n}{(\beta )}_{m}{({\beta }^{^{\prime} })}_{n}}{m!n!{(\gamma )}_{m}{({\gamma }^{^{\prime} })}_{n}}{x}^{m}{y}^{n},\\ {F}_{3}(\alpha, {\alpha }^{^{\prime} };\beta, {\beta }^{^{\prime} };\gamma ;x,y)=\\ =\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(\alpha )}_{m}{({\alpha }^{^{\prime} })}_{n}{(\beta )}_{m}{({\beta }^{^{\prime} })}_{n}}{m!n!{(\gamma )}_{m+n}}{x}^{m}{y}^{n},\\ {F}_{4}(\alpha ;\beta ;\gamma, {\gamma }^{^{\prime} };x,y)=\\ =\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(\alpha )}_{m+n}{(\beta )}_{m+n}}{m!n!{(\gamma )}_{m}{({\gamma }^{^{\prime} })}_{n}}{x}^{m}{y}^{n}.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet (a) _n := a · (a + 1)(a + 2) ··· (a + 1) das Pochhammer-Symbol.

Jede dieser Funktionen erfüllt ein lineares partielles Differentialgleichungssystem: \begin{eqnarray}{F}_{1}:\{x(1-x)r+y(1-x)s+(\gamma -cx)p-\\ -\beta yq-\alpha \beta z=0\\ y(1-y)t+x(1-y)s+(\gamma -{c}^{^{\prime} }x)q-\\ -{\beta }^{^{\prime} }xp-\alpha {\beta }^{^{\prime} }z=0\\ (x-y)s-{\beta }^{^{\prime} }p+\beta q=0,\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{F}_{2}:\{x(1-x)r-xys+(\gamma -cx)p-\\ -\beta yq-\alpha \beta z=0\\ y(1-y)t-xys+({\gamma }^{^{\prime} }-{c}^{^{\prime} }y)q-\\ -{\beta }^{^{\prime} }xp-\alpha {\beta }^{^{\prime} }z=0,\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{F}_{3}:\{x(1-x)r+ys+(\gamma -cx)p-\\ -\alpha \beta z=0\\ y(1-y)t+xs+(\gamma -{c}^{^{\prime\prime} }y)q-\\ {\alpha }^{^{\prime} }{\beta }^{^{\prime} }z=0,\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{F}_{4}:\{x(1-x)r-{y}^{2}t-2xys+(\gamma -cx)p-\\ -cyq-\alpha \beta z=0\\ y(1-y)t-{x}^{2}r-2xys+({\gamma }^{^{\prime} }-cy)q-\\ -cxp-\alpha \beta z=0,\end{eqnarray}

wobei \begin{eqnarray}c=\alpha +\beta +1, & {c}^{^{\prime} }=\alpha +{\beta }^{^{\prime} }+1, & {c}^{^{\prime\prime} }=\alpha +{\beta }^{^{\prime} }+1,\\ p=\partial z/\partial x, & q=\partial z/\partial y, & r={\partial }^{2}z/\partial {x}^{2},\\ s={\partial }^{2}z/\partial x\partial y, & t={\partial }^{2}z/\partial {y}^{2}. & \end{eqnarray}

Die Appellschen Funktionen besitzen auch Integraldarstellungen, beispielsweise \begin{eqnarray}{\text{F}}_{1}=\frac{\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\beta )\Gamma ({\beta }^{^{\prime} })\Gamma (\gamma -\beta -{\beta }^{^{\prime} })}\displaystyle \iint {u}^{\beta -1}{\upsilon }^{{\beta }^{^{\prime} }-1}\\ {(1-u-\upsilon )}^{\gamma -\beta -{\beta }^{^{\prime} }-1}{(1-ux-\upsilon y)}^{-\alpha }dud\upsilon, \end{eqnarray}

wobei über das durch u ≥ 0, υ ≥ 0 und 1−u−υ ≥ 0 definierte Gebiet integriert werden muß. Picard zeigte, daß man F ₁ auch durch ein einfaches Integral darstellen kann: \begin{eqnarray}{F}_{1} & = & \frac{\Gamma(\gamma )}{\Gamma(\alpha )\Gamma(\alpha -\gamma )}\displaystyle {\int }_{0}^{1}{u}^{\alpha -1}{(1-u)}^{\gamma -\alpha -1}\\ & & {(1-ux)}^{-\beta }{(1-uy)}^{-{\beta }^{^{\prime} }}du.\end{eqnarray}

Lauricella erweiterte die hypergeometrischen Funktionen weiter auf den Fall von mehr als zwei Variablen. Weitere hypergeometrische Funktionen wurden von Mellin, Horn und Kampé de Fériet eingeführt. Jede algebraische partielle Differentialgleichung kann durch diese Funktionen analytisch gelöst werden.

[1] Klein, F.: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Springer, 1933.