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Lexikon der Mathematik: Approximationsordnung

Maß für die Güte der Approximation einer Funktion, seltener auch einer vorgegebenen Datenmenge, durch einen Funktionenraum oder eine Funktionenmenge.

Die Beschäftigung mit Fragen der Approximationsordnung als Maß für die Approximationsgüte ist ein wichtiges modernes Teilgebiet der Approximationstheorie.

Die Problematik kann am besten anhand eines einfachen Beispiels erläutert werden:

Es sei f eine genügend oft differenzierbare Funktion auf einem reellen Intervall der Länge h > 0, also etwa [0, h], und es sei Π m der Raum der Polynome vom Höchstgrad m.

Mit ∥ · ∥ bezeichne man die Maximums- oder Tschebyschew-Norm, also \begin{eqnarray}\Vert g\Vert =\mathop{\max }\limits_{x\in [0,h]}|g(x)|.\end{eqnarray}

Dann existiert eine Konstante C > 0 so, daß gilt \begin{eqnarray}\mathop{\inf }\limits_{p\in {\Pi}_{m}}\Vert f-p\Vert \le C\cdot {h}^{m+1}.\end{eqnarray}

Der Polynome haben also hier die Approximationsordnung (m + 1). Man benutzt auch die Sprechweise: Der Fehler verhält sich wie hm +1, oder auch: Der Fehler geht gegen Null wie hm +1.

Anschaulich bedeutet die Relation (1), daß, wenn man die Intervallbreite halbiert, der Fehler sich (asymptotisch) um den Faktor 1/2 m +1 verkleinert.

Etwas praxisnäher ist die nachfolgende Folgerung aus (1): Approximiert man die Funktion f von oben auf einem Intervall [a, b] mit Splinefunktionen, die stückweise in Πm liegen, und die äquidistante Knoten mit Abstand h haben, so gilt die Beziehung (1) sinngemäß auch für diesen Fall.

Allgemein sagt man, daß eine Funktionenmenge V die Approximationsordnung ϱ besitzt, wenn gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\inf }\limits_{\upsilon \in V}\Vert f-\upsilon \Vert \le C\cdot {h}^{\varrho }.\end{eqnarray}

Hierbei muß ϱ nicht unbedingt ganzzahlig sein.

Man ist immer bestrebt, ein möglichst großes ϱ zu finden.

Die Funktionenmenge V kann natürlich durchaus auch aus bivariaten oder multivariaten Funktionen bestehen. Noch allgemeiner benutzt man den Begriff der Approximationsordnung (in offensichtlicher Abänderung der Definition) auch für andere Approximationsprobleme, etwa die angenäherte Lösung von Differentialgleichungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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