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Lexikon der Mathematik: Arcuscosinusfunktion

Arcuscosinus, die aufgrund der strengen Antitonie und Surjektivität der Cosinusfunktion cos : [0, π] → [−1, 1] zu dieser existierende, streng antitone Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ].\end{eqnarray}

Für x ∈ ℝ und y ∈ [−1, 1] gilt genau dann cos x = y, wenn

\begin{eqnarray}x=\pm \arccos y+2k\pi \end{eqnarray}

mit einem k ∈ ℤ. Der Graph von arccos ist punktsymmetrisch um (x = 0, \(y=\frac{\pi }{2}\)). Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist arccos differenzierbar in (−1, 1), und für y ∈ (−1, 1) gilt

\begin{eqnarray}{\arccos }^{^{\prime} }\(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-{y}^{2}}}.\end{eqnarray}

Mit \(\arccos y=\frac{\pi }{2}-\arcsin y\) erhält man aus Eigenschaften der Arcussinusfunktion leicht die Eigenschaften der Arcuscosinusfunktion. Wir erwähnen noch den folgenden Zusammenhang: Für y ∈ [−1, 1] gilt:

\begin{eqnarray}\sin (\arccos y)=\sqrt{1-{y}^{2}},\\ \tan (\arccos y)=\frac{\sqrt{1-{y}^{2}}}{y},\end{eqnarray}

letzteres natürlich nur für у ≠ 0.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Arcuscosinusfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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arccos

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Arcuscosinusfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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arccos’

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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