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Lexikon der Mathematik: Arcussekansfunktion

Arcussekans, die aufgrund der Bijektivität der Sekansfunktion sec : \([0,\pi ]\backslash \{\frac{\pi }{2}\}\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash (-1,1)\) zu dieser existierende Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\mathrm{arcsec}:{\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash (-1,1)\to [0,\pi ]\backslash \{\frac{\pi }{2}\}.\end{eqnarray}

Für

\begin{eqnarray}x\in {\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash \{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in {\mathbb{Z}}\}\end{eqnarray}

und y ∈ ℝ \ (−1, 1) gilt genau dann sec x = y, wenn

\begin{eqnarray}x=\pm \mathrm{arcsec} y+2k\pi \end{eqnarray}

mit einem k ∈ ℤ. Der Graph von arcsec ist punktsymmetrisch um (x = 0, \(y=\frac{\pi }{2}\)). Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist arcsec differenzierbar in ℝ \ [−1, 1], und für y ∈ ℝ \ [−1, 1] gilt

\begin{eqnarray}{\mathrm{arcsec}}^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{|y|\sqrt{{y}^{2}-1}}.\end{eqnarray}

Mit \(\mathrm{arcsec}y=\arccos \frac{1}{y}\) erhält man aus Eigenschaften der Arcuscosinusfunktion Eigenschaften der Arcussekansfunktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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