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Lexikon der Mathematik: Arcussinusfunktion

Arcussinus, die aufgrund der strengen Isotonie und Surjektivität der Sinusfunktion sin : \([-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to [-1,1]\) zu dieser existierende, streng isotone Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\arcsin :[-1,1]\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}].\end{eqnarray}

Für x ∈ ℝ und y ∈ [−1, 1] gilt genau dann sin x = y, wenn

\begin{eqnarray}x=\arcsin y+2k\pi \text{oder}x=(2k+1)\pi -\arcsin y\end{eqnarray}

mit einem k ∈ ℤ. Mit sin ist auch aresin eine ungerade Funktion.

Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist arcsin differenzierbar in (−1, 1), und für y ∈ (−1, 1) gilt

\begin{eqnarray}{\arcsin }^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{\sqrt{1-{y}^{2}}}.\end{eqnarray}

Für |y| < 1 hat man die Reihendarstellung

\begin{eqnarray}\arcsin y & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\Pi }}\frac{2k-1}{2k})\frac{{y}^{2n+1}}{2n+1}\\ & = & y+\frac{1}{6}{y}^{3}+\frac{3}{40}{y}^{5}+\frac{5}{112}{y}^{7}+\ldots, \end{eqnarray}

woraus mit

\begin{eqnarray}\arccos y=\frac{\pi }{2}-\arcsin y\end{eqnarray}

auch eine Darstellung der Arcuscosinusfunktion folgt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Arcussinusfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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arcsin

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Arcussinusfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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arcsin’

Wir erwähnen noch den folgenden Zusammenhang: Für y ∈ [−1, 1] gilt:

\begin{eqnarray}\cos (\arcsin y)=\sqrt{1-{y}^{2}},\\ \tan (\arcsin y)=\frac{y}{\sqrt{1-{y}^{2}}},\end{eqnarray}

letzteres nur für |y| < 1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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