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Lexikon der Mathematik: Arcustangensfunktion

Arcustangens, die aufgrund der strengen Isotonie und Surjektivität der Tangensfunktion \(\tan :(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\) zu dieser existierende, streng isotone Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\arctan :{\rm{{\mathbb{R}}}}\to (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}).\end{eqnarray}

Für \(x\in {\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash \{k\pi +\frac{\pi }{2}|k\in {\rm{{\mathbb{Z}}}}\}\) und y ∈ ℝ gilt genau dann tan x = y, wenn

\begin{eqnarray}x=\arctan y+k\pi \end{eqnarray}

mit einem k ∈ ℤ. Mit tan ist auch aretan eine ungerade Funktion. Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist aretan differenzierbar, und für y ∈ ℝ gilt

\begin{eqnarray}{\arctan }^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{1+{y}^{2}}.\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Arcustangensfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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arctan und arctan’

Für y ∈ (−1, 1] hat man die Darstellung durch die Gregoiy-Reihe

\begin{eqnarray}\arctan y=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}{y}^{2n+1},\end{eqnarray}

was mit y = 1 die Leibniz-Reihe liefert, und woraus man mit

\begin{eqnarray}\mathrm{arccot}y=\frac{\pi }{2}-\arctan y\end{eqnarray}

auch eine Darstellung der Arcuscotangensfunktion erhält. Ferner folgt daraus für у > 1 die Reihe

\begin{eqnarray}\arctan y=\frac{\pi }{2}-\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}\frac{1}{{y}^{2n+1}}.\end{eqnarray}

Wir erwähnen noch den folgenden Zusammenhang:

Für y ∈ ℝ gilt:

\begin{eqnarray}\sin (\arctan y) & = & \frac{y}{\sqrt{1+{y}^{2}}},\\ \cos (\arctan y) & = & \frac{1}{\sqrt{1+{y}^{2}}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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