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Lexikon der Mathematik: Arcustangensreihen für π

Reihendarstellungen von π, die man aus Darstellungen von π als Summe von Arcustangensausdrücken und Reihenentwicklungen der Arcustangensfunktion erhält. So ergibt sich aus \(\tan \frac{\pi }{4}=1\), also \(\frac{\pi }{4}=\arctan 1\), die nur langsam konvergierende Leibniz-Reihe und aus \(\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), also \(\frac{\pi }{6}=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}\), die bessere Sharp-Reihe. Die Potenzreihe der Arcustangensfunktion konvergiert linear und um so schneller, je kleiner das Argument ist. Daher sind Darstellungen mit kleinen Arcustangensargumenten besser geeignet für die schnelle Berechnung von Näherungen zu π.

Aus der Formel von Machin erhält man z. B. die Reihe

\begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}(\frac{4}{{5}^{2n+1}}-\frac{1}{{239}^{2n+1}}),\end{eqnarray}

die Grundlage zahlreicher Berechnungen von vielen Dezimalstellen von π war.

Weitere Reihen bekommt man aus der Formel von Gauß, der Formel von Klingenstierna, der Formel von Loney, der Formel von Rutherford, der Formel von Størmer und der Formel von Strassnitzky.

Herzuleiten sind solche Arcustangensformeln aus dem Additionstheorem

\begin{eqnarray}\arctan \frac{x+y}{1-xy}=\arctan x+\arctan y,\end{eqnarray}

aus dem die von Leonhard Euler benutzte Identität

\begin{eqnarray}\arctan \frac{1}{p}=\arctan \frac{1}{p+q}+\arctan \frac{q}{{p}^{2}+pq+1}\end{eqnarray}

und Darstellungen wie

\begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1-q}{p}-\arctan \frac{p-1}{p+1}\end{eqnarray}

folgen. Mit Hilfe von \(\frac{\pi }{4}=5\arctan \frac{1}{7}+2\arctan \frac{3}{79}\) und der Reihe

\begin{eqnarray}\arctan x=\frac{y}{x}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{2\cdot 4\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2n}{3\cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2n+1)}{y}^{n},\end{eqnarray}

wobei

\begin{eqnarray}y=\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}},\end{eqnarray}

berechnete Euler im Jahre 1755 π in nur einer Stunde auf 20 Dezimalstellen genau.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Arcustangensreihen für <i/>π
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Abbildung 2 zum Lexikonartikel Arcustangensreihen für <i/>π
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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