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Lexikon der Mathematik: Areasinusfunktion

Areasinus, die aufgrund der strengen Isotonie und Surjektivität der hyperbolischen Sinusfunktion sinh : ℝ → ℝ zu dieser existierende, streng isotone Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\mathrm{arsinh}:{\rm{{\mathbb{R}}}}\to {\rm{{\mathbb{R}}}}.\end{eqnarray}

Es gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{arsinh}y=\mathrm{ln}(y+\sqrt{{y}^{2}+1})\end{eqnarray}

für y ∈ ℝ. Mit sinh ist auch arsinh eine ungerade Funktion. Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist arsinh differenzierbar, und für y ∈ ℝ gilt

\begin{eqnarray}{\mathrm{arsinh}}^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{\sqrt{{y}^{2}+1}}.\end{eqnarray}

Für |x| < 1 hat man die Reihendarstellung

\begin{eqnarray}\mathrm{arsinh}y & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\Pi }}\frac{2k-1}{2k}){(-1)}^{n}\frac{{y}^{2n+1}}{2n+1}\\ & = & y-\frac{1}{6}{y}^{3}+\frac{3}{40}{y}^{5}-\frac{5}{112}{y}^{7}\pm \ldots,\end{eqnarray}

woraus mit

\begin{eqnarray}\mathrm{arcosh}y=\mathrm{arsinh}\sqrt{{y}^{2}-1}\end{eqnarray}

auch eine Darstellung der Areacosinusfunktion folgt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Areasinusfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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artanh

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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