Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Areatangensfunktion

Areatangens, die aufgrund der strengen Isotonie und Surjektivität der hyperbolischen Tangensfunktion tanh : ℝ → (−1, 1) zu dieser existierende, streng isotone Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\mathrm{artanh}:(-1,1)\to {\rm{{\mathbb{R}}}}.\end{eqnarray}

Es gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{artanh}y=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\frac{1+y}{1-y}\end{eqnarray}

für y ∈ (−1, 1).

Wie tanh ist auch artanh eine ungerade Funktion.

Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist artanh differenzierbar, und für y ∈ (−1, 1) gilt

\begin{eqnarray}{\mathrm{artanh}}^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{1-{y}^{2}}.\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Areatangensfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

artanh’

Für y ∈ (−1, 1) hat man die Reihendarstellung

\begin{eqnarray}\mathrm{artanh}y=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{y}^{2n+1}}{2n+1},\end{eqnarray}

woraus man mit \(\mathrm{arcoth}y=\mathrm{artanh}\frac{1}{y}\) auch eine Darstellung der Areacotangensfunktion erhält.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Areatangensfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos