Areatangens, die aufgrund der strengen Isotonie und Surjektivität der hyperbolischen Tangensfunktion tanh : ℝ → (−1, 1) zu dieser existierende, streng isotone Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\mathrm{artanh}:(-1,1)\to {\rm{{\mathbb{R}}}}.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\mathrm{artanh}y=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\frac{1+y}{1-y}\end{eqnarray}

Wie tanh ist auch artanh eine ungerade Funktion.

Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist artanh differenzierbar, und für y ∈ (−1, 1) gilt

\begin{eqnarray}{\mathrm{artanh}}^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{1-{y}^{2}}.\end{eqnarray}

Für y ∈ (−1, 1) hat man die Reihendarstellung

\begin{eqnarray}\mathrm{artanh}y=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{y}^{2n+1}}{2n+1},\end{eqnarray}