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Lexikon der Mathematik: Argument Einer Komplexen Zahl

eine Zahl ϕ ∈ ℝ derart, daß für eine komplexe Zahl z

\begin{eqnarray}z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\end{eqnarray}

gilt, wobei r = |z| der Betrag von z ist (Betrag einer komplexen Zahl). Man schreibt ϕ = arg z.

Die Zahl ϕ in der Darstellung (1) ist nur bis auf ein additives ganzzahliges Vielfaches von 2π eindeutig bestimmt. Ist also ϕ0 ein Argument von z, so ist jedes weitere Argument ϕ von z von der Form

\begin{eqnarray}\varphi ={\varphi }_{0}+2k\pi \end{eqnarray}

mit einem k ∈ ℤ.

Derjenige Wert von arg z mit arg z ∈ (−π, π] heißt der Hauptwert des Arguments von z. Man benutzt dafür auch die Bezeichnung arg z. Gelegentlich wird der Wert von arg z mit arg z ∈ [0, 2π) als Hauptwert bezeichnet. Für w, z ∈ ℂ gilt die Rechenregel

\begin{eqnarray}\text{Arg}(wz)\equiv \text{Arg}w+\text{Arg}z(\mathrm{mod}2\pi ).\end{eqnarray}

Das Argument einer komplexen Zahl hängt eng mit der Polarkoordinaten-Darstellung von z zusammen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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