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Lexikon der Mathematik: arithmetisch-geometrisches Mittel

AGM, Gaußsches Mittel, die zu zwei positiven reellen Zahlen x, y durch wiederholte Bildung des arithmetischen und des geometrischen Mittels durch die Iteration

\begin{eqnarray}{x}_{1}=x &, & {y}_{1}=y\\ {x}_{n+1}=\frac{{x}_{n}+{y}_{n}}{2} &, & {y}_{n+1}=\sqrt{{x}_{n}{y}_{n}}\end{eqnarray}

definierte positive reelle Zahl

\begin{eqnarray}\text{AGM}(x,y):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{x}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{y}_{n}.\end{eqnarray}

Es ist

\begin{eqnarray}\text{AGM}(x,x)=x,\text{AGM}(x,y)=\text{AGM}(y,x)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\text{AGM}(x,y)=\text{AGM}({x}_{n},{y}_{n})\end{eqnarray}

für n ∈ ℕ. Ferner gilt

\begin{eqnarray}\text{AGM}(\alpha x,\alpha y)=\alpha \text{AGM}(x,y)\end{eqnarray}

für α > о, insbesondere also

\begin{eqnarray}\text{AGM}(x,y)=x\text{AGM}(1,\frac{y}{x}).\end{eqnarray}

Für x > у gilt xn > AGM (x, у) > уn für n ∈ ℕ, (xn) konvergiert streng antiton und (yn) streng isoton gegen AGM(x, y) mit

\begin{eqnarray}{x}_{n+1}-{y}_{n+1}\lt \frac{1}{2}({x}_{n}-{y}_{n}).\end{eqnarray}

Das arithmetisch-geometrische Mittel geht auf Joseph Louis Lagrange zurück, von Carl Friedrich Gauß stammt die Bezeichnung AGM. 1799 fand Gauß die Formel

\begin{eqnarray}L=2\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{4}}}=\frac{\pi }{\text{AGM}(1,\sqrt{2})}\end{eqnarray}

für die Länge L einer Lemniskate mit der Fläche 2, weswegen

\begin{eqnarray}\frac{1}{\text{AGM}(1,\sqrt{2})}=0.8346268\ldots \end{eqnarray}

auch Gauß-Konstante oder Lemniskatenkonstante genannt wird. Verwandt damit ist die Formel

\begin{eqnarray}K(k)=\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }}=\frac{\pi }{2\text{AGM}(1,\sqrt{1-{k}^{2}})}\end{eqnarray}

für das vollständige elliptische Integral K(k) erster Art, wobei 0 ≤ k < 1.

Das AGM hat in jüngerer Zeit in den Iterationsverfahren von Borwein und dem Brent-Salamin-Algorithmus für die schnelle Berechnung von Näherungen zu π neue Anwendungen gefunden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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