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Lexikon der Mathematik: arithmetisch-Harmonisches Mittel

die, analog zum arithmetisch-geometrischen Mittel, zu zwei positiven reellen Zahlen x, y durch wiederholte Bildung des arithmetischen und des harmonischen Mittels durch die Iteration

\begin{eqnarray}{x}_{1}=x &, & {y}_{1}=y\\ {x}_{n+1}=\frac{{x}_{n}+{y}_{n}}{2} &, & {y}_{n+1}=\frac{2}{\frac{1}{{x}_{n}}+\frac{1}{{y}_{n}}}\end{eqnarray}

definierte positive reelle Zahl

\begin{eqnarray}\text{AHM}(x,y):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{x}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{y}_{n}.\end{eqnarray}

Es gilt

\begin{eqnarray}\text{AHM}(x,y)=\sqrt{xy},\end{eqnarray}

d. h. das arithmetisch-harmonische Mittel ist gleich dem geometrischen Mittel.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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