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Lexikon der Mathematik: arithmetisches Geschlecht

Euler-Poincaré-Charakteristik der Kohomologie mit Koeffizienten in der Garbe der Keime der lokal holomorphen Funktionen auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit.

Sei V eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit, W ein komplex-analytisches Vektorbündel über V, und sei Ω (W) die Garbe der Keime der lokal holomorphen Schnitte von W. Hq (V, W) bezeichne die Kohomologiegruppe von V mit Koeffizienten in Ω (W)

Da V kompakt ist, ist Hq (V, W) ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum über ℂ.

Das triviale Geradenbündel sei bezeichnet mit 1, die Garbe Ω (1) ist dann die Garbe der Keime der lokal holomorphen Funktionen auf V.

\begin{eqnarray}{h}^{0,q}(V):=\dim {H}^{q}(V,1)\end{eqnarray}

ist die „Anzahl“ der komplexen harmonischen Formen vom Typ (0, q) auf V. Die Zahl

\begin{eqnarray}\chi (V):=\displaystyle \sum _{q=0}^{n}{(-1)}^{q}{h}^{0,q}(V)\end{eqnarray}

heißt dann arithmetisches Geschlecht von V.

[1] Hirzebruch, F.: Topological Methods in Algebraic Geometry. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York, 1978.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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