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Lexikon der Mathematik: Artinsche Approximation

Approximationsmethode für Potenzreihen, die auf den folgenden von Michael Artin im Jahre 1968 bewiesenen Satz zurückgeht:

Seien f1, …, fm ∈ ℂ {x, у} konvergente Potenzreihen, x = (x1,…,xn), у = (y1, …, уN), und ȳ ∈ ℂ [[x]]N ein Vektor von formalen Potenzreihen, so daß

\begin{eqnarray}{f}_{i}(x,\bar{y}(x))=0\end{eqnarray}

für i = 1, …, m. Sei weiterhin ℝ eine natürliche Zahl.

Dann existiert ein Vektor Уℝ ∈ ℂ{X}N von konvergenten Potenzreihen, so daß fi(yc) = 0 für i = 1, …, m und ȳy modulo (X)c.

Dorin Popescu hat diesen Satz wie folgt verallgemeinert:

Sei A ein kommutativer Noetherscher Ring mit Eins, der exzellent (exzellenter Ring) und bezüglich des Ideals \({\mathfrak{a}}\)ein Henselscher Ring ist.

Seien f1, …, fmA[у] und \(\bar{y}\in {\hat{A}}_{{\mathfrak{a}}}^{N}\)ein Vektor aus der \({\mathfrak{a}}\)-adischen Komplettierung mit fi(ȳ) = 0 für i = 1, …, т. Sei weiterhin c eine natürliche Zahl.

Dann existiert ein Vektor ycAN mit

\begin{eqnarray}\bar{y}\equiv {y}_{c}\mathrm{mod}{{\mathfrak{a}}}^{c}\end{eqnarray}

und fi(yc) = 0 für i = 1, …, т.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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