Lexikon der Mathematik: Artinscher Ring
Artin-Ring, Ring, bei dem alle strikt absteigenden Idealketten
\begin{eqnarray}{I}_{1}\supseteq {I}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {I}_{k}\supseteq \ldots \end{eqnarray}
stationär werden, d. h. es existiert ein n > 0, so daß Ik = In für alle k > n gilt.Ist K ein Körper, dann sind K-Algebren, die als K-Vektorraum aufgefaßt endlich-dimensional sind, Artinsche Ringe. Ein Artinscher Ring heißt von endlicher Länge, falls es eine obere Schranke für die Längen solcher Idealketten gibt.
Es gibt den folgenden Struktursatz: Jeder Artinsche Ring ist direktes Produkt von lokalen Artinschen Ringen.
In Zusammenhang mit dem Begriff des Artin-Moduls kann man auch folgende Definition geben: Ein Artinscher Ring ist ein kommutativer Ring R, der als R-Modul ein Artin-Modul ist.
Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
Schreiben Sie uns!