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Lexikon der Mathematik: Artinscher Ring

Artin-Ring, Ring, bei dem alle strikt absteigenden Idealketten

\begin{eqnarray}{I}_{1}\supseteq {I}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {I}_{k}\supseteq \ldots \end{eqnarray}

stationär werden, d. h. es existiert ein n > 0, so daß Ik = In für alle k > n gilt.

Ist K ein Körper, dann sind K-Algebren, die als K-Vektorraum aufgefaßt endlich-dimensional sind, Artinsche Ringe. Ein Artinscher Ring heißt von endlicher Länge, falls es eine obere Schranke für die Längen solcher Idealketten gibt.

Es gibt den folgenden Struktursatz: Jeder Artinsche Ring ist direktes Produkt von lokalen Artinschen Ringen.

In Zusammenhang mit dem Begriff des Artin-Moduls kann man auch folgende Definition geben: Ein Artinscher Ring ist ein kommutativer Ring R, der als R-Modul ein Artin-Modul ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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