eine Aussage über Kompaktheit einer gleichgradig stetigen Familie von Abbildungen.

In einer einfachen Version lautet er:

Vorausgesetzt sei, daß I ein kompaktes Intervall, \({{\mathscr{C}}}^{0}(I)\supset {\mathcal F} \)abgeschlossen, \( {\mathcal F} \)gleichgradig stetig und \(\{f(x):f\in {\mathcal F} \}\)beschränkt für alle x ∈ i ist. Dann ist \( {\mathcal F} \)kompakt.

Hierbei bezeichnet \({{\mathscr{C}}}^{0}(I)\) den Raum der auf I stetigen reellwertigen (oder komplexwertigen) Funktionen.

Verallgemeinerungen des notierten Satzes betrachten z. B. statt I einen kompakten metrischen Raum \({\mathscr{K}}\) und dazu Funktionen mit Werten in einem vollständigen metrischen Raum \( {\mathcal R} \). Mit dem Raum \({{\mathscr{C}}}^{0}({\mathscr{K}}, {\mathcal R} )\) der stetigen Funktionen auf \({\mathscr{K}}\). mit Werten in \( {\mathcal R} \) gilt dann:

Die Kompaktheit einer Menge von Funktionen \( {\mathcal F} \subset {{\mathscr{C}}}^{0}({\mathscr{K}}, {\mathcal R} )\)ist äquivalent zu:

\( {\mathcal F} \)ist abgeschlossen und gleichgradig stetig, und für alle \(x\in {\mathscr{K}}\). Ist

\begin{eqnarray}\bar{\{f(x):f\in {\mathcal F} \}}\end{eqnarray}

Der Satz von Arzelà-Ascoli hat für Funktionenmengen eine ähnlich zentrale Stellung wie der Satz von Bolzano-Weierstraß für Mengen von Zahlen. Er hat große Bedeutung in der gesamten Analysis, z. B. in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen.