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Lexikon der Mathematik: Assoziierte Minimalflächen

in folgender Weise zusammenhängende Minimalflächen:

Da sich jede Minimalfläche \( {\mathcal F} \subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{3}\) in konformer Parameterdarstellung als Realteil einer komplexen isotropen Kurve α(z) in ℂ3 darstellen läßt, gewinnt man eine zu \( {\mathcal F} \) assoziierte Fläche \( {\mathcal F} * \) als Imaginärteil derselben Kurve α(z). Eine Parameterdarstellung von \( {\mathcal F} * \) ist durch

\begin{eqnarray}{\rm{\Phi }}* (u,v)=\mathrm{Im}(\alpha (u+iv))\end{eqnarray}

gegeben.

\( {\mathcal F} * \) heißt die zu \( {\mathcal F} \) assoziierte Minimalfläche. Da isotrope Kurven α(z), {z = u+iv ∈ ℂ), des Raumes ℂ3 bei der skalaren Multiplikation mit komplexen Zahlen wieder in isotrope Kurven übergehen, erhält man eine ganze assoziierte Familie \({ {\mathcal F} }_{t}\) von Minimalflächen in parametrischer Darstellung als Realteile

\begin{eqnarray}{{\rm{\Phi }}}_{t}(u,v)=\mathrm{Re}({e}^{2it\pi }\alpha (u+iv)).\end{eqnarray}

Dann ist \( {\mathcal F} * ={ {\mathcal F} }_{3\pi /2}\) und \( {\mathcal F} ={ {\mathcal F} }_{0}\).

Je zwei Elemente der Schar \({ {\mathcal F} }_{t}\) sind aufeinander abwickelbare Flächen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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