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Lexikon der Mathematik: Asymptote

Kurve, oft eine Gerade, der die Punkte einer anderen Kurve, die durch eine auf ganz ℝ definierte Parametergleichung a(t) gegeben ist, für t → ±∞ beliebig nahe kommen. Die Asymptote kann auch zu einem Punkt entarten.

Als Beispiel betrachte man die Asymptoten der Hyperbel; dies sind zwei Geraden a1 und a2, denen sich eine Hyperbel für sehr weit vom Mittelpunkt entfernte Punkte beliebig weit annähert, ohne jedoch diese Geraden (im Endlichen) zu erreichen. Ist eine Hyperbel H durch die Gleichung

\begin{eqnarray}\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\end{eqnarray}

gegeben, so läßt sich diese auch in der Form

\begin{eqnarray}{y}^{2}={b}^{2}(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-1)\end{eqnarray}

schreiben bzw. durch die beiden Funktionsgleichungen (für die obere und untere „Halbhyperbel“)

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Asymptote
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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\begin{eqnarray}{f}_{1}(x)=b\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-1}\text{\hspace{1em}}\text{und}\text{\hspace{1em}}{f}_{2}(x)=-b\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-1}\end{eqnarray}

darstellen, gilt:

Die Asymptoten a1 und a2 an die Hyperbel H haben daher die Gleichungen

\begin{eqnarray}{a}_{1}:y=\frac{b}{a}\cdot x\text{\hspace{1em}}\text{und}\text{\hspace{1em}}{a}_{2}:y=-\frac{b}{a}\cdot x.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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