Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Asymptotenlinie

auch Haupttangentenkurve oder Schmieglinie genannt, Kurve α(t) auf einer Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{3}\), deren Tangentialvektor in jedem Punkt in die Richtung einer der Asymptoten der Dupinschen Indikatrix zeigt.

Asymptotenlinien existieren auf einer Fläche \( {\mathcal F} \) nur, wenn diese ausschließlich aus hyperbolischen Punkten besteht. Dann ist die Gaußsche Krümmung in jedem Punkt \(P\in {\mathcal F} \) gleich dem negativen Quadrat der Windung jeder der beiden Asymptotenlinien durch P.

Ein Kurve α(t) ist genau dann eine Asymptotenlinie auf \( {\mathcal F} \), wenn sie eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt:

  1. Die Normalkrümmung von α(t) ist Null,
  2. in jedem Punkt α(t) stimmt die Schmiegebene von a mit der Tangentialebene \({T}_{a(t)}( {\mathcal F} )\) überein, und
  3. für alle t gilt \({a}^{^{\prime\prime} }(t)\in {T}_{a(t)}( {\mathcal F} )\).

Einfache Beispiele für Asymptotenlinien sind gerade Linien, die auf einer Fläche liegen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos