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Lexikon der Mathematik: asymptotisch konvex

Eigenschaft eines i. allg. nicht-linearen) Funktionenraumes, die eine wichtige Rolle bei der Charakterisierung bester Approximationen spielt.

Es sei A eine Menge von Parametern und X ein kompakter Raum von Variablen, beispielsweise der Raum ℝ der reellen Zahlen. Man betrachte nun die Menge V aller Funktionen F(a, x) mit aA und x&KHgr;.

Der Raum V heißt asymptotisch konvex, wenn zu jedem Paar (a, b) ∈ A × A und für jede reelle Zahl t mit 0 ≤ t ≤ 1 ein Parameter a(t) ∈ A und eine stetige reellwertige Funktion g(x, t) mit g(x, 0) > 0 existieren, so daß

\begin{eqnarray}\Vert (1-tg(x,t)F(a,x)+tg(x,t)F(b,x)-F(a(t),x)\Vert =o(t)\end{eqnarray}

für t → 0. Hierbei bedeutet ||·|| die Maximumsoder Tschebyschew-Norm auf V.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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