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Lexikon der Mathematik: asymptotische Dichte

Kennzahl einer Menge M ⊂ ℕ von natürlichen Zahlen. Existiert der Grenzwert

\begin{eqnarray}d(M)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }\frac{{A}_{M}(x)}{x},\end{eqnarray}

wobei AM(x) die Anzahlfunktion der Menge M ist, so nennt man d die asymptotische Dichte von M. Für jede Teilmenge M ⊂ ℕ hat man die untere asymptotische Dichte

\begin{eqnarray}\mathop{d}\limits_{\_}(M)=\mathop{\mathrm{lim}\inf }\limits_{x\to \infty }\frac{{A}_{M}(x)}{x}\end{eqnarray}

sowie die obere asymptotische Dichte

\begin{eqnarray}\bar{d}(M)=\mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{x\to \infty }\frac{{A}_{M}(x)}{x}.\end{eqnarray}

Eine Variante der asymptotischen Dichte ist die Banachsche Dichte.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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