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Lexikon der Mathematik: asymptotische Entwicklung einer Funktion

die Entwicklung einer Funktion einer reellen oder komplexen Variablen in eine formale Potenzreihe unter Kontrolle des Fehlergliedes bei Abbruch der Reihe nach einem endlichen Glied.

Ist f eine Funktion einer reellen oder komplexen Variablen z, R ein unbeschränktes Gebiet in ℂ oder ℝ und \(\displaystyle {\sum }_{s}{a}_{s}{z}^{-s}\) eine formale – konvergente oder divergente – Potenzreihe, so sagt man, \(\displaystyle {\sum }_{s}{a}_{s}{z}^{-s}\) sei eine asymptotische Entwicklung von f um ∞ in R, wenn das Fehlerglied der Ordnung n

\begin{eqnarray}{R}_{n}(z):=f(z)-\displaystyle \sum _{s=0}^{n-1}{a}_{s}{z}^{-s}\end{eqnarray}

für alle n von der Ordnung O(zn) für z → ∞, zR ist. Man schreibt dann auch

\begin{eqnarray}f(z)\sim {a}_{0}+\frac{{a}_{1}}{z}+\frac{{a}_{2}}{{z}^{2}}+\cdots \text{\hspace{1em}}(z\to \infty \text{\hspace{1em}}\text{in}\text{\hspace{1em}}R).\end{eqnarray}

So hat man beispielsweise, vorerst auf einem formalen Niveau, (1 + t)–1 = (1 – t + t2 ∓…). Setzt man diese Reihe in das Integral

\begin{eqnarray}G(x)=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{e}^{-xt}}{1+t}dt\end{eqnarray}

ein, so erhält man die folgende asymptotische Entwicklung von G:

\begin{eqnarray}G(x)\sim \frac{1}{x}-\frac{1!}{{x}^{2}}+\frac{2!}{{x}^{3}}+\frac{3!}{{x}^{4}}+\cdots \end{eqnarray}

Obwohl die so berechnete Reihe nun für alle t divergent ist, ist sie durchaus von Interesse. Bricht man die Reihe nach einem endlichen Glied ab, so eignet sie sich dennoch zur numerischen Approximation von G. Der wesentliche Unterschied zu einer konvergenten Reihe liegt jedoch darin, daß wir den hierbei erhaltenen Fehlerterm nicht durch die Reihe selbst, bzw. die unendliche Summe der vernachlässigten Terme abschätzen können. Insbesondere sind asymptotische Entwicklungen von Funktionen im allgemeinen nicht eindeutig.

[1] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press New York, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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